Hint:

$$
T(X)=
\begin{bmatrix}
1&1\\
0&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x&y\\
z&t
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
x+z&y+t\\
z&t
\end{bmatrix}=
(x+z)\begin{bmatrix}
1&0\\
0&0
\end{bmatrix}+(y+t)\begin{bmatrix}
0&1\\
0&0
\end{bmatrix}
+z\begin{bmatrix}
0&0\\
1&0
\end{bmatrix}
+t\begin{bmatrix}
0&0\\
0&1
\end{bmatrix}
$$
So, the transformation $T$ is represented, in the canonical basis of $M_2(\mathbb{R})$, by the matrix:
$$
T=
\begin{bmatrix}
1&0&1&0\\
0&1&1&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{bmatrix}
$$
tha has characteristic polynomial $(\lambda-1)^4$