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\documentclass[12pt]{report} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsthm} \usepackage{mathtools} \usepackage{hyperref} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[french]{babel} \usepackage[top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm]{geometry} \usepackage{enumitem} \usepackage{csquotes} \usepackage[x11names]{xcolor} \usepackage{framed, etoolbox} \colorlet{framecolor}{VioletRed4} \colorlet{shadecolor}{LavenderBlush2!60} \usepackage{thmtools} % \usepackage{sectsty} \chapterfont{\color{Firebrick2}} % sets colour of chapters \sectionfont{\color{Chartreuse4}} \subsectionfont{\color{blue}} %talwin majzo2at %\usepackage{sectsty}% %\chapterfont{\color{Firebrick2}} %\usepackage{titlesec}%%%%%% <---------addendum %\titleformat{\section}%%%%%% <---------addendum %{\color{Chartreuse4}\normalfont\Large\bfseries}%%%%%% <---------addendum %{\color{Chartreuse4}\thesection}{1.5em}{}%%%%%% <---------addendum %\titleformat{\subsection}%%%%%% <---------addendum %{\color{Firebrick3}\normalfont\Large\bfseries}%%%%%% <---------addendum %{\color{Firebrick3}\thesection}{1.5em}{}%%%%%% <---------addendum \makeatletter \define@key{thmdef}{frame}[{}]{% \thmt@trytwice{}{% \RequirePackage{framed}% \RequirePackage{thm-patch}% \def\FrameCommand{\fcolorbox{framecolor}{shadecolor}} \addtotheorempreheadhook[\thmt@envname]{% \begin{framed}}% \addtotheorempostfoothook[\thmt@envname]{\end{framed}}% }% } \makeatother \usepackage{thmtools} \declaretheoremstyle[ spaceabove=-6pt, spacebelow=6pt, headfont=\normalfont\bfseries, bodyfont = \normalfont, postheadspace=1em, qed=$\blacksquare$, headpunct={:}]{myproofstyle} %<---- change this name \declaretheorem[name={Proof}, style=myproofstyle, unnumbered]{Proof} \declaretheoremstyle[ spaceabove=6pt, spacebelow=6pt, headfont=\bfseries, notefont=\bfseries, notebraces={(}{)}, bodyfont=\itshape, postheadspace=1em, headpunct={:}]{mystyle} \declaretheoremstyle[ spaceabove=6pt, spacebelow=6pt, headfont=\normalfont\bfseries, notefont=\mdseries\bfseries, notebraces={({)}}, bodyfont=\normalfont, postheadspace=1em, postheadhook = {\hspace{0mm}\newline},% headpunct={:},]{myst} \declaretheorem[name={Théorème}, style=mystyle,numberwithin=section]{thm} \declaretheorem[frame,name={Lemme}, style=mystyle,numberwithin=section]{lema} \declaretheorem[frame,name={Définition}, style=mystyle,numberwithin=section]{defi} \declaretheorem[frame,name={Corollaire}, style=mystyle,numberwithin=section]{coro} \declaretheorem[frame,name={Proposition}, style=mystyle,numberwithin=section]{props} \declaretheorem[frame,name={Vocabulaire}, style=mystyle,numberwithin=section]{voc} \declaretheorem[name={Preuve}, style=myst,numbered=no]{preuve} \declaretheorem[name={Remarque}, style=myst,numberwithin=section]{remark} \declaretheorem[name={Remarques}, style=myst,numberwithin=section]{remarks} \declaretheorem[name={Exemple}, style=myst,numberwithin=section]{exemple} \declaretheorem[name={Exemples}, style=myst,numbered=no]{exemples} \declaretheorem[name={Méthode}, style=mystyle,numberwithin=section]{methode} \declaretheorem[name={Méthodes}, style=mystyle,numbered=no]{methodes} \declaretheorem[name={Notation}, style=mystyle,numbered=no]{notation} \AtBeginEnvironment{defi}{\colorlet{framecolor}{black} \colorlet{shadecolor}{orange!15}} \newcommand{\myarrow}[1][1cm]{\mathrel{% \hbox{\rule[\dimexpr\fontdimen22\textfont2-.2pt\relax]{#1}{.4pt}}% \mkern-4mu\hbox{\usefont{U}{lasy}{m}{n}\symbol{41}}}} \AtBeginEnvironment{voc}{\colorlet{framecolor}{black} \colorlet{shadecolor}{LightSkyBlue2!25}} \AtBeginEnvironment{props}{\colorlet{framecolor}{black} \colorlet{shadecolor}{Yellow1!15}} \AtBeginEnvironment{coro}{\colorlet{framecolor}{black} \colorlet{shadecolor}{Yellow1!15}} \AtBeginEnvironment{lema}{\colorlet{framecolor}{black} \colorlet{shadecolor}{Yellow1!15}} \makeatletter \setbox0\hbox{$\xdef\scriptratio{\strip@pt\dimexpr \numexpr(\sf@size*65536)/\f@size sp}$} \newcommand{\myscriptarrow}[1][1cm]{{% \hbox{\rule[\scriptratio\dimexpr\fontdimen22\textfont2-.2pt\relax] {\scriptratio\dimexpr#1\relax}{\scriptratio\dimexpr.4pt\relax}}% \mkern-4mu\hbox{\let\f@size\sf@size\usefont{U}{lasy}{m}{n}\symbol{41}}}} \makeatother \newcommand*{\QED}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}}%Heron \usepackage{amsmath,amscd} \usepackage{mathtools} \usepackage{dsfont} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage{lmodern} \usepackage{tikz, tikz-cd} \usepackage{amssymb} \begin{document} \chapter{Notion d'extension de corps } \section{Extension d'anneau} \begin{defi} Soit $A$ un anneau, on appel \textbf{\textcolor{blue}{extension}} de $A$ tout anneau $B$ tel que $A$ est une sous-anneau de $B$. Dans ce cas on note \textcolor{blue}{$B/A$} ou \textcolor{blue}{$B:A$} ou \textcolor{blue}{$A\myarrow B$}. \end{defi} \section{Extension de corps} Maintenant on introduisant la notion d'extension de corps. \begin{defi} Étant donné un corps $K$, on appelle \textbf{\textcolor{blue}{extension}} de $K$ tout corps $L$ contenant $K$ et on note \textcolor{blue}{$L/K$} ou \textcolor{blue}{$L:K$} ou \textcolor{blue}{$K\myarrow L$}. \end{defi} \begin{exemples} \newlist{coloritemize}{itemize}{1} \setlist[coloritemize]{label=\textcolor{blue}{\textbullet}} \begin{coloritemize} \item Tout corps de caractéristique $0$ est une extension du corps $\mathds{Q}$. En particulier, les inclusions $\mathds{Q} \subset \mathds{R}\subset \mathds{C}$ montrent que $\mathds{R}$ et $\mathds{C}$ sont extensions de $\mathds{Q}$ et que $\mathds{C}$ est extension de $\mathds{R}$.\\ Utilisons les notations donc on a : $\mathds{C}/\mathds{R}$, $\ \mathds{C}/\mathds{Q}$, $\ \mathds{R}/\mathds{Q}$. \item Soit $L:=\{p+qi\ |\ (p,q)\in \mathds{Q}\times \mathds{Q}\ et\ i^2=-1 \}$.\\ On vérifie que $L$ est un sous-corps de $\mathds{C}$ contenant $\mathds{Q}$, donc L est une extension de $\mathds{Q}$, et, $\mathds{C}$ est une extension de $L$. \end{coloritemize} \end{exemples} \begin{defi} On dira qu'un corps $K'$ est un \textbf{\textcolor{blue}{corps intermédiaire}} pour une extension $L/K$, si $K \subset K' \subset L$. \end{defi} \section{Degré d'une extension de corps} \begin{defi} Soit $L/K$ une extension, la dimension de l'espace vectoriel $L$ sur $K$ s'appel \textbf{\textcolor{blue}{degré}} de l'extension $L/K$. On le note \textbf{\textcolor{blue}{$[L:K]$}}. \end{defi} \begin{voc} Si $L$ est de dimension fini sur $K$, on dit que $L$ est une extension de \textbf{\textcolor{blue}{degré fini}} sur $K$ et $[L:K]=dim_KL$. Dans ce cas on note $[L:K]<\infty$. \\ Si $L$ est de dimension infinie sur $K$, on dit que $L$ est une extension de \textbf{\textcolor{blue}{degré infini}} sur $K$. Dans ce cas on note $[L:K]=\infty$. \end{voc} \begin{lema}\label{l1} Soit $L/K$ une extension de degré $[L:K]=1$, $\{\alpha\}$ une base de $L/K$ alors: $$\exists k\in K\ /\ k\alpha=1.$$ \end{lema} \begin{preuve} K est un corps $\implies$ $K\neq\emptyset$ $\implies$ $\exists k_1\in K$ tel que $k_1 \neq 0$, or $\{\alpha\}$ une base de $L/K$ et $k_1 \in$ L \\$\implies$ $k_1=a\alpha$, avec $a\in K$, $k_1$ est inversible dans $K$ $\implies$ $1=k_1^{-1}a \alpha$, par suite il suffit de poser $k=k_1^{-1}a$.\QED \end{preuve} \begin{props} Soit $L/K$ une extension, alors: $$[L:K]=1 \iff L=K.$$ \end{props} \begin{preuve} $(\implies)$\\ Supposons que $[L:K]=1$, d'après le lemme $\ref{l1}$, $\exists k\in K\ /\ k\alpha=1$, donc $\alpha\in K$ (car $\alpha=k^{-1}\in K$). Or on a: $\forall x\in L$, $x=k'\alpha$ avec $k'\in K$ $\implies$ $x\in K$ (car $K$ est un corps), ce qui donne $L\subset K$, et par définition $K\subset L$, d'où $L=K$.\\ ($\Longleftarrow$)\\ Supposons que $L=K$, alors $\{1_L\}$ est une base de L dans K, par suite $[L:K]=1$.\QED \end{preuve} \begin{props}\label{p1} Soient $M/K$ une extension, $L$ un corps intermédiaire de $M/K$, $(x_i)_{i\in I}$ une base de $L/K$, $(y_j)_{j\in J}$ une base de $M/L$, alors $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une base de $M/K$. \end{props} \begin{preuve} \textcolor{magenta}{Montrons que $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une famille génératrice de $M/K$}.\\\\ $(y_j)_{j\in J}$ une base de $M/L$ $\implies$ $\forall z\in M,\ z=\sum\limits_{j\in J} \alpha_j y_j$, où $(\alpha_j)_{j\in J}$ presque nuls dans L. D'une part $\forall j\in J,\ \alpha_j\in L$. D'autre part $(x_i)_{i\in I}$ base de $L/K$ $\implies$ $\alpha_j=\sum\limits_{i\in I} \beta_{ij} x_i$, où $(\beta_{ij})_{i\in I}$ presque nuls dans $K$. On remplace dans z, on trouve $z=\sum\limits_{j\in J} (\sum\limits_{i\in I} \beta_{ij} x_i) y_j =\sum\limits_{(i,j)\in I\times J} \beta_{ij} x_i y_j$, on a montré que: $$\forall z\in M, \exists (\beta_{ij})_{i\in I}\subset K\ \ tel\ que\ \ z=\sum\limits_{(i,j)\in I\times J} \beta_{ij} x_i y_j.$$ \textcolor{magenta}{Montrons que $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une famille libre de $M/K$}.\\\\ Soit $(c_{ij})_{i\in I}\subset K$ tel que $\sum\limits_{(i,j)\in I\times J} c_{ij} x_i y_j=0$, où $(c_{ij})_{i\in I}$ presque nuls dans $K$, alors on a: \begin{align*} \sum\limits_{(i,j)\in I\times J} c_{ij} x_i y_j=\sum\limits_{j\in J} (\sum\limits_{i\in I} c_{ij} x_i) y_j=0 & \implies \sum\limits_{i\in I} c_{ij} x_i=0\ \ \big(car:\ (y_j)_{j\in J}\ une\ base\ de\ M/L \big) \\ & \implies c_{ij}=0,\ \forall (i,j)\in I\times J\ \big(car:\ (x_i)_{i\in I}\ une\ base\ de\ L/K\big). \end{align*}\QED \end{preuve} \begin{coro} Soient $M/K$ une extension, $L$ un corps intermédiaire de $M/K$, alors: $$ [M:K]=[M:L][L:K].$$ De plus: $$ [M:K]<\infty \iff [M:L]<\infty \ et\ [L:K]<\infty .$$ \end{coro} \begin{preuve} Soit $(x_i)_{i\in I}$ une base de $L/K$, $(y_j)_{j\in J}$ une base de $M/L$, alors d'après la proposition \ref{p1}, $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une base de $M/K$, et on a; \begin{align*} [M:K]&= Card\big( \big\{(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J} \big\}\big) \\ & = Card(I\times J) \\ & = Card(I)\times Card(J)\\ & = [M:L][L:K]. \end{align*} L'egalité $ [M:K]=[M:L][L:K],$ justifiée l'équivalence\\ $$ [M:K]<\infty \iff [M:L]<\infty \ et\ [L:K]<\infty .$$ \QED \end{preuve} \section{Nombres algébriques - Nombres transcendants} \begin{defi} Soit $L/K$ une extension de corps, $\alpha \in L$, on dit que $\alpha$ est:\\ $\centerdot$ \textbf{\textcolor{blue}{Algébrique}} sur $K$ si: $\exists P\in K[X]-\{0\}$, tel que $P(\alpha)=0$.\\ $\centerdot$ \textbf{\textcolor{blue}{Transcendant}} sur $K$, dans le cas contraire, c'est à dire: $\forall P\in K[X]-\{0\}$, on a $P(\alpha)\neq 0$. \end{defi} \begin{exemples} \newlist{coloritemize}{itemize}{1} \setlist[coloritemize]{label=\textcolor{blue}{\textbullet}} \begin{coloritemize} \item Tout élément de K est algébrique sur K. \item Les nombres $i$, $\sqrt{2}$ sont algébriques sur $\mathds{Q}$. En effet: $i$ est racine de $X^2+1$, $\sqrt{2}$ est racine de $X^2-2$. \item On montre que $\pi$ et $e$ sont transcendants sur $\mathds{Q}$. \end{coloritemize} \end{exemples} \begin{props} Soit $L/K$ une extension, $\alpha \in L$. Il est équivalent de dire: \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item $\alpha$ est algébrique sur K. \item $[K[\alpha]:K]< \infty $. \item $ K[\alpha]$ est un corps. \item $ K[\alpha]$=$ K(\alpha)$. \item $[K(\alpha):K]< \infty $. \item $\exists M$ un corps intermédiaire de $L/K$ telles que $[M:K]<$ $\infty$ $\ $ et $\ $ $\alpha \in M$. \end{enumerate} \end{props} \begin{props} Soient $L/K$ une extension, $\alpha \in L$, $M$ un corps intermédiaire de $L/K$, on a : $$\alpha\ est\ algébrique\ sur\ K \implies \alpha\ est\ algébrique\ sur\ M.$$ \end{props} \begin{props} Soit $L/K$ une extension, $\alpha \in L$ algébrique sur $K$, alors $\exists !Q\in K[X]$ irréductible et unitaire tel que : $$\forall P\in K[X],\ \ \ \ \big(\ P(\alpha) = 0 \iff Q|P\ \big).$$ \end{props} Gardons les hypothèses de cette proposition, on a: \begin{defi} Le polynôme $Q$ s'appel polynôme irréductible de l'élément algébrique $\alpha$.\\ On le note : \textcolor{blue}{$Irr(\alpha/K)$} ou \textcolor{blue}{$Irr(\alpha,K)$}. \end{defi} \begin{exemples} \newlist{coloritemize}{itemize}{1} \setlist[coloritemize]{label=\textcolor{blue}{\textbullet}} \begin{coloritemize} \item $\forall \alpha \in K$, on a $Irr(\alpha/K)=X-\alpha$. \item $Irr(\sqrt{2}/\mathds{Q})=X^2-2$. \item $Irr(\sqrt[3]{2}/\mathds{Q})=X^3-2$. \item $Irr(i / \mathds{R})=X^2+1$. \item $Irr(\sqrt{2}+\sqrt{3},\mathds{Q})=X^4-10X^2+1$. \end{coloritemize} \end{exemples} \begin{props} Soit $L/K$ une extension, $\alpha\in L$ algébrique sur $K$, $Q=Irr(\alpha/K)$, $P\in K[X]$, Il est équivalent de dire: \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item $P$ est de degré le plus petit tel que $P(\alpha)=0$. \item $P$ est irréductible et $P(\alpha)=0$. \item $P\thicksim Q$. \end{enumerate} \end{props} \begin{props} Soit $L/K$ une extension, $\alpha\in L$ algébrique sur $K$, soit $M$ un corps intermédiaire de $L/K$, on a :$$Irr(\alpha/M)\ |\ Irr(\alpha/K).$$ \end{props} \begin{props} Soit $L/K$ une extension, $\alpha\in L$ algébrique sur $K$, $Q=Irr(\alpha/K)$, et $n=d$\textdegree$(Q)$, alors: $$\{1,\alpha,\alpha^2,...\ ,\alpha^{n-1}\}$$ est une \textcolor{blue}{base} de $K(\alpha)/K$. \end{props} \begin{defi} Soit $L/K$ une extension, $\alpha\in L$ algébrique sur $K$, $Q=Irr(\alpha/K)$, le degré de $Q$ \center{s'appel \textcolor{blue}{degré} de l'élément algébrique $\alpha$ sur $K$. On le note \textcolor{blue}{$d$\textdegree$(\alpha/K)$}.} \end{defi} \begin{props} Soit $L/K$ une extension, $(\alpha$,$\beta)$ $\in L^2$ algébriques sur $K$, alors : $$ \alpha+\beta,\ \ \alpha - \beta,\ \ \alpha \beta,\ \ \frac{\alpha}{\beta}\ (si\ \beta\neq0)$$ sont \textcolor{blue}{algébriques} sur $K$. \end{props} \begin{coro} Soit $L/K$ une extension, l'ensemble des éléments de $L$ algébrique sur $K$ est un \center{ \textcolor{blue}{corps intermédiaire} de $L/K$.} \end{coro} \begin{defi} Soit $L/K$ une extension, l'ensemble des éléments de $L$ algébrique sur $K$, s'appel \center{\textcolor{blue}{clôture algébrique} de $K$ dans $L$ (ou de $L/K$).} \end{defi} Dans cette section on va définir la notion d'extension algébrique qui a une relation très important avec la clôture algébrique. \section{Extensions algébriques - Extensions transcendantes} \begin{defi} Une extension $L/K$ est dite \textcolor{blue}{algébrique}, si: \begin{align*} \forall \alpha \in L,\ \alpha\ est\ algébrique\ sur\ K. \end{align*} Une extension non algébrique est dite extension \textcolor{blue}{transcendante}. \end{defi} \begin{remarks} \textcolor{red}{1)}$\ $ Soit $L/K$ une extension, soit $M$ un corps intermédiaire de $L/K$, alors $M$ est la clôture algébrique de $L/K$, si et seulement si : \newlist{coloritemize}{itemize}{1} \setlist[coloritemize]{label=\textcolor{blue}{\textbullet}} \begin{coloritemize} \item $M/K$ algébrique. \item Pour tout corps intermédiaire $M'$ de $L/K$ on a: \begin{align*} M'/K\ algébrique \implies M'\subset M. \end{align*} \end{coloritemize} \textcolor{red}{2)}$\ $On peut aussi définir l'extension algébrique à l'aide de la clôture algébrique, on a :$\ $ \center{$L/K$ algébrique $\iff$ La clôture algébrique de $K$ dans $L$, est $L$.} \end{remarks} \begin{props} Toute extension finie est \textbf{\textcolor{blue}{algébrique}}. \end{props} \begin{props} Soient $L/K$ extension, $M$ corps intermédiaire de $L/K$, alors: $$ L/K\ est\ algébrique \iff L/M\ \ et\ \ M/K\ sont\ algébriques $$ \end{props} \begin{lema} Soient $L/K$ extension, $M$ corps intermédiaire de $L/K$, $\alpha\in L$, on a: \begin{align*} \big(\ \ (\alpha\ algébrique\ sur\ M)\ \ et\ \ (M/K\ algébrique)\ \ \big) \implies (\alpha\ algébrique\ sur\ K) \end{align*} \end{lema} \begin{props} Soit $M/M'$ une sous extension d'une extension $L/K$, on a : $$L/K\ algébrique \implies M/M'\ algébrique. $$ \end{props} \begin{props} Soient $L/K$ une extension, $A\subset L$, alors: $$\forall \alpha\in A,\ \alpha\ algébrique\ sur\ K \implies K(A)/K\ est\ algébrique. $$ \end{props} \begin{props} Soit $L/K$ une extension, $\Omega/L$ une extension, $S\subset\Omega$, on a : $$L/K\ algébrique\implies L(S)/K(S)\ algébrique.$$ \end{props} \begin{defi} Soient $K_1$ et $K_2$ des sous-corps d'un corps $K$, on appel \textcolor{blue}{sous-corps produit} des sous-corps $K_1$ et $K_2$ le sous-corps de K engendré par $K_1\cup K_2$. \center{On le note $\textcolor{blue}{K_1K_2}$.} \end{defi} \begin{remark} Voici une autre écriture du sous-corps produit $K$. $$ K_1 K_2 = K_1(K_2) = K_2(K_1) = P(K_1\cup K_2),$$ où $P$ est le sous-corps \textcolor{blue}{premier} de $K$. \begin{props} Soit $L/K$ une extension, $\Omega$ une extension de $L$, soit $M$ un sous-corps de $\Omega$, on a : $$L/K\ algébrique \implies LM/KM\ algébrique.$$ \end{props} \end{remark} \end{document}