\$n = 20, p = 5627\$
I've tried random symmetric soups this time. Still can't fit engineered solutions into such small a space. This pattern is a 2-generation predecessor of a (variant of a) symmetric pattern found by search.
. . O . . . O . . . . . . O . . O . O . . . . . O O . . O O . O O O . . . . O . . O O . O . O O O O . . . O . O . O . . O . . . . . O . O . . O . O . O . . . O O . O . O . . . . . O . . . . . O O . O . . O . . . . O O . . O O . O . O . . . O O . O . O . . . O . O O . O O . O . O . O O . . O . . O O O O . . O . . O O O . O O . . . . O . O . . . O . O . . . . . O . . . O . . O O O . . O . . . O . . . . . O O . O . O . . O . . O O O O . O O . . O O . . . . O . . . . O . . . . . . . . . . O O . . O . O . O O O . . . . O . O . O O . . O O O . . . . . . O O . . . . O . O . O O . O . O . . O . . . O O . O O . . O . . O . . . . . O O . . O O . . . O . . . O . . O . . O O . . . . . . O . O . O . . . O O O O . O . O O O . O . . . . O O O . O O . . O . . . . . . O . O . . O . . . . . . O . O . O . O RLE:
x = 20, y = 20, rule = B3/S23 2bo3bo6bo2bobo$4b2o2b2ob3o4bo$b2obob4o3bobobo$o5bobo2bobobo3bo$obobo5b o5b2obo$2bo4b2o2b2obobo$2obobo3bob2ob2obobo$b2o2bo2b4o2bo2b3o$b2o4bobo 3bobo$bo3bo2b3o2bo3bo$3b2obobo2bo2b4obo$o2b2o4bo4bo$5b2o2bobob3o$obob 2o2b3o6b2o$3bobob2obobo2bo3bo$ob2o2bo2bo5b2o2bo$o3bo3bo2bo2b2o$2bobobo 3b4obob3o$bo4b3ob2o2bo$bobo2bo6bobobobo!