Operación binaria

Se define como operación binaria (o ley de composición) aquella operación matemática, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se calcule un valor.

Dados tres conjuntos A, B y C, una operación binaria producto, representando la operación por el signo $\circ$, es una aplicación que asigna a cada par de valores a de A y b de B un solo valor c de C, que podemos representar:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ$ :&A\times B&\longrightarrow &C\\&(a,b)&\longmapsto &c\end{array}}}

Podemos expresar la operación:

$a\circ b=c\;,\quad \circ (a,b)=c\;,\quad (a,b){\xrightarrow {\circ }}c$

Por ejemplo, el operador de suma «+» de números naturales es un operador binario, porque requiere dos argumentos:

${\begin{array}{rccl}+:&N\times N&\longrightarrow &N\\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}$

y tenemos que:

$2+3=5\;,\quad +(2,3)=5\;,\quad (2,3){\xrightarrow {+}}5$

El número de argumentos de una función se denomina aridad.

Clase de operación binaria

Según los conjuntos A, B y C podemos diferenciar dos tipos de operaciones, las internas en las que A = B = C, y las externas que son todas las demás, se denomina Ley de composición a un subtipo de operación binaria.

Operación interna

Si a cada par de valores (a, b) de $A$ la operación le corresponde un valor c de A:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledast$ :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledast b\end{array}}}

se dice que esta operación es interna, también se llama ley de composición interna, así por ejemplo dado el conjunto de vectores de tres dimensiones $V^{3}$ y la adición de vectores, se tiene:

${\begin{array}{rccl}+:&V^{3}\times V^{3}&\longrightarrow &V^{3}\\&(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\longmapsto &\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} \end{array}}$

que la suma de dos vectores de $V^{3}$ es otro vector de $V^{3}$, por ejemplo, dados los vectores:

$\mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k}$

$\mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k}$

su suma es:

$\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b}$

$\mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )+(b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )$

$\mathbf {c} =(a_{x}+b_{x})\mathbf {i} +(a_{y}+b_{y})\mathbf {j} +(a_{z}+b_{z})\mathbf {k}$

$\mathbf {c} =c_{x}\mathbf {i} +c_{y}\mathbf {j} +c_{z}\mathbf {k}$

Operación externa

Si la operación no es interna entonces es externa, pudiéndose presentar los siguientes casos:

• Si a cada par de valores a de A y b de B, se le asigna un valor c de A,

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star$ :&A\times B&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}

a esta operación también se denomina ley de composición externa, un ejemplo claro, de esta operación, es el producto de un vector por un escalar:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\cdot$ :&V^{3}\times R&\longrightarrow &V^{3}\\&(\mathbf {a} ,b)&\longmapsto &\mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\end{array}}}

así, dado el vector:

$\mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k}$

el resultado de multiplicarlo por un escalar b, será:

$\mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\cdot b)\mathbf {i} +(a_{y}\cdot b)\mathbf {j} +(a_{z}\cdot b)\mathbf {k}$

• Si la operación es de la forma:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star$ :&A\times A&\longrightarrow &B\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}

en la que a cada par de valores a, b de A se le asigna un c de B, esta operación no se denomina ley de composición, como ejemplo podemos poner el producto escalar de dos vectores, que da como resultado un número real:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ$ :&V^{3}\times V^{3}&\longrightarrow &R\\&(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\longmapsto &c=\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \end{array}}}

así dados los vectores:

$\mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k}$

$\mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k}$

su producto escalar será:

$\mathbf {c} =\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\circ (b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )\;,\quad \mathbf {c} =a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}$

• Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conjuntos distintos:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star$ :&A\times B&\longrightarrow &C\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}

es el caso más general, y tampoco se denomina ley de composición, podemos ver el ejemplo de la división de un número entero entre un número natural para dar como resultado un número racional

${\begin{array}{rccl}/:&Z\times N&\longrightarrow &Q\\&(a,b)&\longmapsto &c=a/b\end{array}}$

Véase también

• Operador
  • Operación nularia
  • Operación unaria
  • Operación ternaria

• Propiedades de las operaciones binarias
  • Conmutatividad
  • Asociatividad
  • Elemento neutro
  • Elemento simétrico
  • Elemento absorbente
  • Distributividad

• Tabla de multiplicar

Bibliografía

1. Díaz Martín, José Fernando; Arsuaga Uriarte, Eider; Riaño Sierra, Jesús M. (2005). Introducción al Álgebra. Netbiblo. ISBN 84-9745-128-7. 
2. Xambó Descamps, Sebastián Xambó Descamps; Delgado, Félix; Fuertes, Concha (1009). Introducción al álgebra (1 edición). Editorial Complutense. ISBN 9788474914283. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Binary Operation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

1. Estructuras Algebraicas
2. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
3. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
4. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
5. Apuntes de Teoría de Conjuntos. Enrique Arrondo
6. Estructuras Algebraicas. Francisco Rivero. Universidad de Los Andes

• Datos: Q164307
• Multimedia: Binary operations / Q164307