This was done in an attempt (so far unsuccessful) to replicate the problem mentioned in http://meta.math.stackexchange.com/questions/9968/line-breaks-in-incorrect-places
However, when I was trying this, I stumbled upon some strange behavior of MathJax, which I can't explain. (And I am unable to spot a mistake in the TeX code below.)
Two separate formulas - they work fine:
$\|e^A\|=\|I+A+A^2/2!+A^3/3!+\ldots\|=\sup_{|x|=1}\|(I+A+A^2/2!+A^3/3!+\ldots)x\|=$ $\sup_{|x|}\|Ix+Ax+(A^2x)/2!+(A^3x)/3!+\ldots\|\leq \sup_{|x|}\|Ix\|+\sup_{|x|=1}\|Ax\|+\frac{\sup_{|x|}\|A^2x\|}{2!}+\frac{\sup_{|x|}\|A^3x\|}{3!}+\ldots$
Now without any changes they are put together and everything is broken: $\|e^A\|=\|I+A+A^2/2!+A^3/3!+\ldots\|=\sup_{|x|=1}\|(I+A+A^2/2!+A^3/3!+\ldots)x\|= \sup_{|x|}\|Ix+Ax+(A^2x)/2!+(A^3x)/3!+\ldots\|\leq \sup_{|x|}\|Ix\|+\sup_{|x|=1}\|Ax\|+\frac{\sup_{|x|}\|A^2x\|}{2!}+\frac{\sup_{|x|}\|A^3x\|}{3!}+\ldots$
This first part of the fromula still works ok: $\|e^A\|=\|I+A+A^2/2!+A^3/3!+\ldots\|=\sup_{|x|=1}\|(I+A+A^2/2!+A^3/3!+\ldots)x\|= \sup_{|x|}\|Ix+Ax+(A^2x)/2!+(A^3x)/3!+\ldots\|\leq$
When I add the next bit, it becomes weird: $\|e^A\|=\|I+A+A^2/2!+A^3/3!+\ldots\|=\sup_{|x|=1}\|(I+A+A^2/2!+A^3/3!+\ldots)x\|= \sup_{|x|}\|Ix+Ax+(A^2x)/2!+(A^3x)/3!+\ldots\|\leq \sup_{|x|}\|Ix\|+\sup_{|x|=1}\|Ax\|+$
$\|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| \|A\| \|B\| \|C\| $
$\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|+\|A\|+\|B\|+\|C\|$
I'm trying to prove this inequality:
$\|e^A\|\le e^{\|A\|}$, where $A$ is a matrix and $\|A\|:=\sup_{|x|=1} |Ax|$.
My attempt of solution:
Since $e^A:=I+A+A^2/2!+A^3/3!+\ldots$
we have
$\|e^A\|=\|I+A+A^2/2!+A^3/3!+\ldots\|=\sup_{|x|=1}\|(I+A+A^2/2!+A^3/3!+\ldots)x\|=$ $\sup_{|x|}\|Ix+Ax+(A^2x)/2!+(A^3x)/3!+\ldots\|\leq \sup_{|x|}\|Ix\|+\sup_{|x|=1}\|Ax\|+\frac{\sup_{|x|}\|A^2x\|}{2!}+\frac{\sup_{|x|}\|A^3x\|}{3!}+\ldots$
Am I right so far? I couldn't go further
I need help!
Thanks a lot.