NestList[f[## & @@ # + #] &, f[1], 3] 

{ 

 f[1], f[1 + f[1]], f[1 + f[1] + f[1 + f[1]]], f[1 + f[1] + f[1 + f[1]] + f[1 + f[1] + f[1 + f[1]]]] } 

NestList[f[## & @@ # + #] &, f[1], 3] 

{ 

 f[1], f[1 + f[1]], f[1 + f[1] + f[1 + f[1]]], f[1 + f[1] + f[1 + f[1]] + f[1 + f[1] + f[1 + f[1]]]] } 

alternatively (but we have to start with f[1+f[1]]:

NestList[Insert[#, #, {1, -1}] &, f[1 + f[1]], 2] 

{ 

 f[1 + f[1]], f[1 + f[1] + f[1 + f[1]]], f[1 + f[1] + f[1 + f[1]] + f[1 + f[1] + f[1 + f[1]]]] }