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If it helps, I could provide the expression for the first term, before simplification to the above, purely in terms of $\theta$ and $\phi$. The above mess of trigonometric functions comes from transforming those coordinates to euclidean coordinates. As a note, one must fix values for $\theta$ and $\phi$ for one index $i$, before performing FindMinimum, so that one does not get infinite configurations of the same energy

If it helps, I could provide the expression for the first term, before simplification to the above, purely in terms of $\theta$ and $\phi$. The above mess of trigonometric functions comes from transforming those coordinates to euclidean coordinates. As a note, one must fix values for $\theta$ and $\phi$ for one index $i$, before performing FindMinimum, so that one does not get infinite configurations of the same value.

((Cot[ϕ[1]] Cot[ϕ[6]/2] - Cot[ϕ[6]] Csc[ϕ[1]] - Csc[ϕ[1]] Csc[ϕ[6]] - I Cos[θ[6]] Sin[θ[1]] + Cos[θ[1]] (Cos[θ[6]] + I Sin[θ[6]]) + Sin[θ[1]] Sin[θ[6]]) (Cot[ϕ[5]] Cot[ϕ[6]/2] - Cot[ϕ[6]] Csc[ϕ[5]] - Csc[ϕ[5]] Csc[ϕ[6]] + I Cos[θ[6]] Sin[θ[5]] + Cos[θ[5]] (Cos[θ[6]] - I Sin[θ[6]]) + Sin[θ[5]] Sin[θ[6]]) (-Cot[ϕ[2]] Csc[ϕ[1]] + Csc[ϕ[1]] Csc[ϕ[2]] + I Cos[θ[2]] Sin[θ[1]] + Cos[θ[1]] (Cos[θ[2]] - I Sin[θ[2]]) + Sin[θ[1]] Sin[θ[2]] - Cot[ϕ[1]] Tan[ϕ[2]/2]) (-Cot[ϕ[3]] Csc[ϕ[2]] +  Csc[ϕ[2]] Csc[ϕ[3]] + I Cos[θ[3]] Sin[θ[2]] + Cos[θ[2]]   (Cos[θ[3]] - I Sin[θ[3]]) + Sin[θ[2]] Sin[θ[3]] - Cot[ϕ[2]] Tan[ϕ[3]/2])   (-Cot[ϕ[4]] Csc[ϕ[3]] + Csc[ϕ[3]] Csc[ϕ[4]] + I Cos[θ[4]] Sin[θ[3]] + Cos[θ[3]] (Cos[θ[4]] - I Sin[θ[4]]) + Sin[θ[3]] Sin[θ[4]] - Cot[ϕ[3]] Tan[ϕ[4]/2]) (-Cot[ϕ[5]] Csc[ϕ[4]] + Csc[ϕ[4]] Csc[ϕ[5]] + I Cos[θ[5]] Sin[θ[4]] + Cos[θ[4]] (Cos[θ[5]] - I Sin[θ[5]]) + Sin[θ[4]] Sin[θ[5]] - Cot[ϕ[4]] Tan[ϕ[5]/2]))/(√((1 + Abs[Cot[ϕ[6]/2] (Cos[θ[6]] - I Sin[θ[6]])]^2) (1 + Abs[Cot[ϕ[6]/2] (Cos[θ[6]] + I Sin[θ[6]])]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[1]] + I Sin[θ[1]]) Tan[ϕ[1]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[1]] + I Sin[θ[1]]) Tan[ϕ[1]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[2]] + I Sin[θ[2]]) Tan[ϕ[2]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[2]] + I Sin[θ[2]]) Tan[ϕ[2]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[3]] + I Sin[θ[3]]) Tan[ϕ[3]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[3]] + I Sin[θ[3]]) Tan[ϕ[3]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[4]] + I Sin[θ[4]]) Tan[ϕ[4]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[4]] + I Sin[θ[4]]) Tan[ϕ[4]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[5]] + I Sin[θ[5]]) Tan[ϕ[5]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[5]] + I Sin[θ[5]]) Tan[ϕ[5]/2]]^2))) 

If it helps, I could provide the expression for the first term, before simplification to the above, purely in terms of $\theta$ and $\phi$. The above mess of trigonometric functions comes from transforming those coordinates to euclidean coordinates.

((Cot[ϕ[1]] Cot[ϕ[6]/2] - Cot[ϕ[6]] Csc[ϕ[1]] - Csc[ϕ[1]] Csc[ϕ[6]] - I Cos[θ[6]] Sin[θ[1]] + Cos[θ[1]] (Cos[θ[6]] + I Sin[θ[6]]) + Sin[θ[1]] Sin[θ[6]]) (Cot[ϕ[5]] Cot[ϕ[6]/2] - Cot[ϕ[6]] Csc[ϕ[5]] - Csc[ϕ[5]] Csc[ϕ[6]] + I Cos[θ[6]] Sin[θ[5]] + Cos[θ[5]] (Cos[θ[6]] - I Sin[θ[6]]) + Sin[θ[5]] Sin[θ[6]]) (-Cot[ϕ[2]] Csc[ϕ[1]] + Csc[ϕ[1]] Csc[ϕ[2]] + I Cos[θ[2]] Sin[θ[1]] + Cos[θ[1]] (Cos[θ[2]] - I Sin[θ[2]]) + Sin[θ[1]] Sin[θ[2]] - Cot[ϕ[1]] Tan[ϕ[2]/2]) (-Cot[ϕ[3]] Csc[ϕ[2]] + Csc[ϕ[2]] Csc[ϕ[3]] + I Cos[θ[3]] Sin[θ[2]] + Cos[θ[2]] (Cos[θ[3]] - I Sin[θ[3]]) + Sin[θ[2]] Sin[θ[3]] - Cot[ϕ[2]] Tan[ϕ[3]/2]) (-Cot[ϕ[4]] Csc[ϕ[ 3]] + Csc[ϕ[3]] Csc[ϕ[4]] + I Cos[θ[4]] Sin[θ[3]] + Cos[θ[3]] (Cos[θ[4]] - I Sin[θ[4]]) + Sin[θ[3]] Sin[θ[4]] - Cot[ϕ[3]] Tan[ϕ[4]/2]) (-Cot[ϕ[5]] Csc[ϕ[4]] + Csc[ϕ[4]] Csc[ϕ[5]] + I Cos[θ[5]] Sin[θ[4]] + Cos[θ[4]] (Cos[θ[5]] - I Sin[θ[5]]) + Sin[θ[4]] Sin[θ[5]] - Cot[ϕ[4]] Tan[ϕ[5]/2]))/(√((1 + Abs[Cot[ϕ[6]/2] (Cos[θ[6]] - I Sin[θ[6]])]^2) (1 + Abs[Cot[ϕ[6]/2] (Cos[θ[6]] + I Sin[θ[6]])]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[1]] + I Sin[θ[1]]) Tan[ϕ[1]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[1]] + I Sin[θ[1]]) Tan[ϕ[1]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[2]] + I Sin[θ[2]]) Tan[ϕ[2]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[2]] + I Sin[θ[2]]) Tan[ϕ[2]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[3]] + I Sin[θ[3]]) Tan[ϕ[3]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[3]] + I Sin[θ[3]]) Tan[ϕ[3]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[4]] + I Sin[θ[4]]) Tan[ϕ[4]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[4]] + I Sin[θ[4]]) Tan[ϕ[4]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[5]] + I Sin[θ[5]]) Tan[ϕ[5]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[5]] + I Sin[θ[5]]) Tan[ϕ[5]/2]]^2))) 

If it helps, I could provide the expression for the first term, before simplification to the above, purely in terms of $\theta$ and $\phi$. The above mess of trigonometric functions comes from transforming those coordinates to euclidean coordinates. As a note, one must fix values for $\theta$ and $\phi$ for one index $i$, before performing FindMinimum, so that one does not get infinite configurations of the same energy

((Cot[ϕ[1]] Cot[ϕ[6]/2] - Cot[ϕ[6]] Csc[ϕ[1]] - Csc[ϕ[1]] Csc[ϕ[6]] - I Cos[θ[6]] Sin[θ[1]] + Cos[θ[1]] (Cos[θ[6]] + I Sin[θ[6]]) + Sin[θ[1]] Sin[θ[6]]) (Cot[ϕ[5]] Cot[ϕ[6]/2] - Cot[ϕ[6]] Csc[ϕ[5]] - Csc[ϕ[5]] Csc[ϕ[6]] + I Cos[θ[6]] Sin[θ[5]] + Cos[θ[5]] (Cos[θ[6]] - I Sin[θ[6]]) + Sin[θ[5]] Sin[θ[6]]) (-Cot[ϕ[2]] Csc[ϕ[1]] + Csc[ϕ[1]] Csc[ϕ[2]] + I Cos[θ[2]] Sin[θ[1]] + Cos[θ[1]] (Cos[θ[2]] - I Sin[θ[2]]) + Sin[θ[1]] Sin[θ[2]] - Cot[ϕ[1]] Tan[ϕ[2]/2]) (-Cot[ϕ[3]] Csc[ϕ[2]] + Csc[ϕ[2]] Csc[ϕ[3]] + I Cos[θ[3]] Sin[θ[2]] + Cos[θ[2]] (Cos[θ[3]] - I Sin[θ[3]]) + Sin[θ[2]] Sin[θ[3]] - Cot[ϕ[2]] Tan[ϕ[3]/2]) (-Cot[ϕ[4]] Csc[ϕ[  3]] + Csc[ϕ[3]] Csc[ϕ[4]] + I Cos[θ[4]] Sin[θ[3]] + Cos[θ[3]] (Cos[θ[4]] - I Sin[θ[4]]) + Sin[θ[3]] Sin[θ[4]] - Cot[ϕ[3]] Tan[ϕ[4]/2]) (-Cot[ϕ[5]] Csc[ϕ[4]] + Csc[ϕ[4]] Csc[ϕ[5]] + I Cos[θ[5]] Sin[θ[4]] + Cos[θ[4]] (Cos[θ[5]] - I Sin[θ[5]]) + Sin[θ[4]] Sin[θ[5]] - Cot[ϕ[4]] Tan[ϕ[5]/2]))/(√((1 + Abs[Cot[ϕ[6]/2] (Cos[θ[6]] - I Sin[θ[6]])]^2) (1 + Abs[Cot[ϕ[6]/2] (Cos[θ[6]] + I Sin[θ[6]])]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[1]] + I Sin[θ[1]]) Tan[ϕ[1]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[1]] + I Sin[θ[1]]) Tan[ϕ[1]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[2]] + I Sin[θ[2]]) Tan[ϕ[2]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[2]] + I Sin[θ[2]]) Tan[ϕ[2]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[3]] + I Sin[θ[3]]) Tan[ϕ[3]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[3]] + I Sin[θ[3]]) Tan[ϕ[3]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[4]] + I Sin[θ[4]]) Tan[ϕ[4]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[4]] + I Sin[θ[4]]) Tan[ϕ[4]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[5]] + I Sin[θ[5]]) Tan[ϕ[5]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[5]] + I Sin[θ[5]]) Tan[ϕ[5]/2]]^2))) 

((Cot[ϕ[1]] Cot[ϕ[6]/2] - Cot[ϕ[6]] Csc[ϕ[1]] - Csc[ϕ[1]] Csc[ϕ[6]] - I Cos[θ[6]] Sin[θ[1]] + Cos[θ[1]] (Cos[θ[6]] + I Sin[θ[6]]) + Sin[θ[1]] Sin[θ[6]]) (Cot[ϕ[5]] Cot[ϕ[6]/2] - Cot[ϕ[6]] Csc[ϕ[5]] - Csc[ϕ[5]] Csc[ϕ[6]] + I Cos[θ[6]] Sin[θ[5]] + Cos[θ[5]] (Cos[θ[6]] - I Sin[θ[6]]) + Sin[θ[5]] Sin[θ[6]]) (-Cot[ϕ[2]] Csc[ϕ[1]] + Csc[ϕ[1]] Csc[ϕ[2]] + I Cos[θ[2]] Sin[θ[1]] + Cos[θ[1]] (Cos[θ[2]] - I Sin[θ[2]]) + Sin[θ[1]] Sin[θ[2]] - Cot[ϕ[1]] Tan[ϕ[2]/2]) (-Cot[ϕ[3]] Csc[ϕ[2]] +  Csc[ϕ[2]] Csc[ϕ[3]] + I Cos[θ[3]] Sin[θ[2]] + Cos[θ[2]]   (Cos[θ[3]] - I Sin[θ[3]]) + Sin[θ[2]] Sin[θ[3]] - Cot[ϕ[2]] Tan[ϕ[3]/2])   (-Cot[ϕ[4]] Csc[ϕ[3]] + Csc[ϕ[3]] Csc[ϕ[4]] + I Cos[θ[4]] Sin[θ[3]] + Cos[θ[3]] (Cos[θ[4]] - I Sin[θ[4]]) + Sin[θ[3]] Sin[θ[4]] - Cot[ϕ[3]] Tan[ϕ[4]/2]) (-Cot[ϕ[5]] Csc[ϕ[4]] + Csc[ϕ[4]] Csc[ϕ[5]] + I Cos[θ[5]] Sin[θ[4]] + Cos[θ[4]] (Cos[θ[5]] - I Sin[θ[5]]) + Sin[θ[4]] Sin[θ[5]] - Cot[ϕ[4]] Tan[ϕ[5]/2]))/(√((1 + Abs[Cot[ϕ[6]/2] (Cos[θ[6]] - I Sin[θ[6]])]^2) (1 + Abs[Cot[ϕ[6]/2] (Cos[θ[6]] + I Sin[θ[6]])]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[1]] + I Sin[θ[1]]) Tan[ϕ[1]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[1]] + I Sin[θ[1]]) Tan[ϕ[1]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[2]] + I Sin[θ[2]]) Tan[ϕ[2]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[2]] + I Sin[θ[2]]) Tan[ϕ[2]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[3]] + I Sin[θ[3]]) Tan[ϕ[3]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[3]] + I Sin[θ[3]]) Tan[ϕ[3]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[4]] + I Sin[θ[4]]) Tan[ϕ[4]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[4]] + I Sin[θ[4]]) Tan[ϕ[4]/2]]^2) (1 + Abs[(-Cos[θ[5]] + I Sin[θ[5]]) Tan[ϕ[5]/2]]^2) (1 + Abs[(Cos[θ[5]] + I Sin[θ[5]]) Tan[ϕ[5]/2]]^2)))