This takes some time for pre-processing:

 h1 = Hexahedron[{{-1.1666666666666667`, 0.8333333333333334`, 
 0.8333333333333334`}, {0.16666666666666666`, 2.1666666666666665`, 
 0.16666666666666666`}, {1.5`, 1.5`, 1.5`}, {0.16666666666666666`, 
 0.16666666666666666`, 
 2.1666666666666665`}, {-0.5`, -0.5`, -0.5`}, {0.8333333333333334`,
 0.8333333333333334`, -1.1666666666666667`}, {2.1666666666666665`,
 0.16666666666666666`, 
 0.16666666666666666`}, {0.8333333333333334`, -1.1666666666666667`,
 0.8333333333333334`}}]; h2 = 
 Hexahedron[{{-1.`, 1.`, -1.`}, {1.`, 1.`, -1.`}, {1.`, 1.`, 
 1.`}, {-1.`, 1.`, 
 1.`}, {-1.`, -1.`, -1.`}, {1.`, -1.`, -1.`}, {1.`, -1.`, 
 1.`}, {-1.`, -1.`, 1.`}}];
 ri = RegionIntersection[h1, h2];
 rd1 = RegionDifference[h1, ri];
 rd2 = RegionDifference[h2, ri];

Visualizing:

 With[{rp1 = RegionPlot3D[ri, PlotPoints -> 100, PlotStyle -> Red], 
 rp2 = RegionPlot3D[rd1, PlotPoints -> 100, PlotStyle -> Green], 
 rp3 = RegionPlot3D[rd2, PlotPoints -> 100, PlotStyle -> Blue]}, 
 Manipulate[
 Show[If[p == 1, rp1, Graphics3D[]],
 If[q == 1, rp2, Graphics3D[]],
 If[r == 1, rp3, Graphics3D[]], Boxed -> False, Axes -> False, 
 Background -> Black, 
 PlotRange -> Table[{-3, 3}, {3}]], {p, {0, 1}}, {q, {0, 
 1}}, {r, {0, 1}}]]

![enter image description here][1]

An estimate of volume of intersection: `Volume[DiscretizeRegion@ri]` is 3.61699

**Update**

To find points of intersection:

 pts = Part[vertices1, #] & /@ faces;
 pts2 = Part[vertices2, #] & /@ faces;
 ip1 = InfinitePlane[#[[1 ;; 3]]] & /@ pts;
 ip2 = InfinitePlane[#[[1 ;; 3]]] & /@ pts2;
 ans = Cases[
 RegionIntersection @@@ 
 Tuples[RegionIntersection @@@ Tuples[{ip1, ip2}], 2], Point[x_]]
 rmfun[x_] := Or @@ Through[(RegionMember /@ (Polygon /@ pts))[x]]
 pck = Union[Pick[ans, rmfun /@ ans[[All, 1]]]];
 Graphics3D[{Red, PointSize[0.02], pck, , Blue, Opacity[0.5], 
 Polygon /@ pts, Yellow, Polygon /@ pts2}]

There are 3 extraneous points related to extensions of infinite planes that lie on polygon faces. Do not have time to improve.

![enter image description here][2]


 [1]: https://i.sstatic.net/X1KF0.gif
 [2]: https://i.sstatic.net/ZUe7Z.gif