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Author: EndlessCheng

copypasta/dp.go

@@ -2832,11 +2832,14 @@ func _(abs func(int) int) {
 // 给一个全集 U，对 U 的所有子集 S，计算 S 的所有子集 T 之和（这个「和」不一定是加法，可以是其它的满足合并性质的统计量，例如 max 等）
 // 特别地，对于计算个数的问题，我们可以对每个子集 S，计算有多少个子集 T 包含于 S（如 CF383E）
 // 核心思路：把 S 的所有子集按照最高位是否为 1 分成两组，每组内部再按照次高位是否为 1 分成两组，依此类推
+// 【讲解】https://leetcode.cn/problems/maximum-product-of-two-integers-with-no-common-bits/solution/mo-ban-gao-wei-qian-zhui-he-sos-dppython-78fz/
 // 可以看这篇文章里面的图 https://codeforces.com/blog/entry/45223
 // 本质理解 https://codeforces.com/blog/entry/72488 Tutorial on Zeta Transform, Mobius Transform and Subset Sum Convolution
 // Some SOS DP Insights https://codeforces.com/blog/entry/105247
 // 大量习题 https://blog.csdn.net/weixin_38686780/article/details/100109753
 //
+// 入门题 https://cses.fi/problemset/task/1654/
+// 高维差分 https://cses.fi/problemset/task/3141/
 // LC3670 https://leetcode.cn/problems/maximum-product-of-two-integers-with-no-common-bits/
 // 求满足 ai&aj=0 的最大 ai*aj
 // LC2732 https://leetcode.cn/problems/find-a-good-subset-of-the-matrix/
@@ -2850,6 +2853,7 @@ func _(abs func(int) int) {
 // https://codeforces.com/problemset/problem/1995/D 2300
 // https://codeforces.com/problemset/problem/449/D 2400 容斥 
 // https://codeforces.com/problemset/problem/1523/D 2400
+// https://codeforces.com/problemset/problem/1620/G 2400
 // https://codeforces.com/problemset/problem/1679/E 2400
 // https://codeforces.com/problemset/problem/1903/D2 2500
 // https://codeforces.com/problemset/problem/1208/F 2600
@@ -2868,6 +2872,7 @@ func _(abs func(int) int) {
 // - LC3757 https://leetcode.cn/problems/number-of-effective-subsequences/
 sosDP := func(a []int) []int {
 // 从子集转移的写法
+// f[S] 表示 a 中是 S 的子集的元素个数，这些元素的 OR 也是 S 的子集
 w := bits.Len(uint(slices.Max(a)))
 f := make([]int, 1<<w)
 for _, v := range a {
@@ -2880,12 +2885,32 @@ func _(abs func(int) int) {
 }
 }
 
+// 计算子序列个数（包含空子序列）
+pow2 := make([]int, len(a)+1)
+pow2[0] = 1
+for i := 1; i < len(pow2); i++ {
+pow2[i] = pow2[i-1] * 2 % mod
+}
+for i, fv := range f {
+f[i] = pow2[fv] // 如果要非空子序列，这里额外减一
+}
+
+// 高维差分
+// 从 f[s] 中减去 f[s^1<<i]，得到 OR 恰好等于 S 的子序列个数
+for i := range w {
+for s := 0; s < 1<<w; s++ {
+s |= 1 << i
+f[s] = (f[s] - f[s^1<<i] + mod) % mod
+}
+}
+
 {
 // 从超集转移的写法
+// f[S] 表示 a 中是 S 的超集的元素个数，这些元素的 AND 也是 S 的超集
 for i := range w {
-for s := 1<<w - 1; s >= 0; s-- {
-s &^= 1 << i // 优化：快速跳到 i 位是 0 的 s
-f[s] += f[s|1<<i]
+for s := 0; s < 1<<w; s++ {
+s |= 1 << i
+f[s^1<<i] += f[s]
 }
 }
 }
@@ -3107,7 +3132,7 @@ func _(abs func(int) int) {
 https://codeforces.com/problemset/problem/946/E 2200 重排成回文串
 */
 
-// 上下界数位 DP（v2.1 模板），计数型
+// 上下界数位 DP · 计数型 （v2.1 模板）
 // 比如统计恰好包含 target 个 0 的数字个数，需要区分【前导零】和【数字中的零】，前导零不能计入，而数字中的零需要计入
 // 由于 limitLow && i < diffLH 等价于 !isNum，所以 isNum 是多余的
 //
@@ -3290,7 +3315,7 @@ func _(abs func(int) int) {
 return ans
 }
 
-// 上下界数位 DP（v2.1 模板），价值总和型
+// 上下界数位 DP · 求和型 （v2.1 模板）
 // 每个元素 x 有一个对应的价值 f(x)，比如 f(x) = x，或者 f(x) = x 中的峰谷个数
 // 返回 [low, high] 中的所有元素的价值总和
 // https://codeforces.com/problemset/problem/1073/E 2300