Hint:
$$ T(X)= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x&y\\ z&t \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+z&y+t\\ z&t \end{bmatrix}= (x+z)\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}+(y+t)\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix} +z\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix} $$ So, the transformation $T$ is represented, in the canonical basis of $M_2(\mathbb{R})$, by the matrix: $$ T= \begin{bmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} $$ tha has characteristic polynomial $(\lambda-1)^4$