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Hint:

$$ T(X)= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x&y\\ z&t \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+z&y+t\\ z&t \end{bmatrix}= (x+z)\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}+(y+t)\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix} +z\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix} $$ So, the transformation $T$ is represented, in the canonical basis of $M_2(\mathbb{R})$, by the matrix: $$ T= \begin{bmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} $$ tha has characteristic polynomial $(\lambda-1)^4$

Hint:

$$ T(X)= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x&y\\ z&t \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+z&y+t\\ z&t \end{bmatrix}= (x+z)\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}+(y+t)\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix} +z\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix} $$ So, the transformation $T$ is represented, in the canonical basis of $M_2(\mathbb{R})$, by the matrix: $$ T= \begin{bmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} $$ tha has characteristic polynomial $(\lambda-1)^4$

In the canonical basis we have: $$ X=x\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix} +y\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix} +z\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x\\y\\z\\t \end{bmatrix} $$ $$ T(X)=(x+z)\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}+(y+t)\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix} +z\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+z\\y+t\\z\\t \end{bmatrix} $$ so the transformation acts as: $$ T\left(\begin{bmatrix} x\\y\\z\\t \end{bmatrix} \right)=\begin{bmatrix} x+z\\y+t\\z\\t \end{bmatrix} $$

Hint:

$$ T(X)= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x&y\\ z&t \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+z&y+t\\ z&t \end{bmatrix}= (x+z)\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}+(y+t)\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix} +z\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix} $$ So, the transformation $T$ is represented, in the canonical basis of $M_2(\mathbb{R})$, by the matrix: $$ T= \begin{bmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} $$ tha has characteristic polynomial $(\lambda-1)^4$

Hint:

$$ T(X)= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x&y\\ z&t \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+z&y+t\\ z&t \end{bmatrix}= (x+z)\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}+(y+t)\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix} +z\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix} $$ So, the transformation $T$ is represented, in the canonical basis of $M_2(\mathbb{R})$, by the matrix: $$ T= \begin{bmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} $$ tha has characteristic polynomial $(\lambda-1)^4$

Hint:

$$ T(X)= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x&y\\ z&t \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+z&y+t\\ z&t \end{bmatrix}= (x+z)\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}+(y+t)\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix} +z\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix} $$ So, the transformation $T$ is represented, in the canonical basis of $M_2(\mathbb{R})$, by the matrix: $$ T= \begin{bmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} $$ tha has carhacterisc polynomial $(\lambda-1)^4$

Hint:

$$ T(X)= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x&y\\ z&t \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+z&y+t\\ z&t \end{bmatrix}= (x+z)\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}+(y+t)\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix} +z\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix} $$ So, the transformation $T$ is represented, in the canonical basis of $M_2(\mathbb{R})$, by the matrix: $$ T= \begin{bmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} $$ tha has characteristic polynomial $(\lambda-1)^4$