Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Elipsa:a = velika poluosab = mala poluosa Elipsa je zatvorena kriva koja je određena sa dvije poluose : velikom (oznaka: a ) i malom (oznaka: b ). Oblik elipse definiše se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: e ). Elipsa se može također predstaviti kao kosi presjek ravni i valjka . Tačke F1 i F2 nazivaju se fokus . Osobine tački F1 i F2 i promjenljive tačke X je da je suma dužina duži F1 X i F2 X uvijek jednaka.
Površina elipse se računa formulom:
P = a ∗ b ∗ π {\displaystyle P=a*b*\pi } Tačke F 1 {\displaystyle F_{1}} F 2 {\displaystyle F_{2}} Glavna osa elipse je prava kroz žarišta (prava određena tačkama F 1 {\displaystyle F_{1}} F 2 {\displaystyle F_{2}} Sredina duži F 1 F 2 {\displaystyle F_{1}F_{2}} Sporedna osa je normala na glavnu osu kroz središte elipse. Tačke u kojima ose sijeku elipsu zovu se tjemena. Velika osa je duž A B {\displaystyle AB} Mala osa je duž C D {\displaystyle CD} Velike poluose su duži A S {\displaystyle AS} S B {\displaystyle SB} Male poluose su duži C S {\displaystyle CS} S D {\displaystyle SD} Linearni ekscentricitet udaljenost žarišta od središta elipse. Radijus vektori tačke na elipsi su dužine F 1 T {\displaystyle F_{1}T} F 2 T {\displaystyle F_{2}T} Tekst zaglavlja Tekst zaglavlja osna jednačina b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 {\displaystyle b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}} segmentni oblik x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.} poluparametar p = b 2 a {\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}} numerički ekscentricitet ε = e a {\displaystyle \varepsilon ={\frac {e}{a}}} linearni ekscentricitet e 2 = a 2 − b 2 {\displaystyle e^{2}=a^{2}-b^{2}} radijus vektor r 1 + r 2 = 2 a {\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a} [ 1] jednačina tangente b 2 x 1 x + a 2 y 1 y = a 2 b 2 {\displaystyle b^{2}x_{1}x+a^{2}y_{1}y=a^{2}b^{2}} uslov da prava y = k x + n {\displaystyle y=kx+n} a 2 k 2 + b 2 = n 2 {\displaystyle a^{2}k^{2}+b^{2}=n^{2}} koordinate tjemena ( ± a , 0 ) {\displaystyle (\pm a,0)} ( 0 , ± b , ) {\displaystyle (0,\pm b,)}
algebarska zatvorena kriva jedna je od konika skup tačaka ravni kojima je zbir udaljenosti od dvije čvrste tačke, žarišta, konstantan. Elipsa je simetrična s obzirom na dvije ose (glavne osi) i njihovo sjecište, središte simetrije. Žarišta elipse smještena su na velikoj osi simetrično s obzirom na središte, a apscisa im je e {\displaystyle e} Svaka tetiva koja prolazi kroz središte elipse njezin je prečnik. Tangenta na elipsu u tački T elipse zatvara jednake uglove sa spojnicama r 1 {\displaystyle r_{1}} r 2 {\displaystyle r_{2}} Planete se kreću po elipsama kojima se u jednom žarištu nalazi Sunce . Neka se ose elipse poklapaju sa koordinantnim osama. Jednačina elipse je.
( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1 {\displaystyle \displaystyle {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}}=1}
Dokaz Neka nezavisni parametar θ {\displaystyle \theta } π {\displaystyle \pi }
x 2 = a 2 cos 2 θ . {\displaystyle x^{2}=a^{2}\cos ^{2}\theta .}
y 2 = b 2 sin 2 θ . {\displaystyle y^{2}=b^{2}\sin ^{2}\theta .}
x 2 a 2 = cos 2 θ . {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}=\cos ^{2}\theta .}
y 2 b 2 = sin 2 θ . {\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\sin ^{2}\theta .}
x 2 a 2 + y 2 b 2 = cos 2 θ + sin 2 θ . {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta .}
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.} [ 3]
Površina zatvorena elipsom je : P = a b π {\displaystyle P=ab\pi } a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} π = 3 , 14159... {\displaystyle \pi =3,14159...}
Dokaz. Površina elipse je
P = 4 ∫ 0 a y d x = 4 ∫ 0 a b ⋅ 1 − x 2 a 2 d x = [ x = a sin t , d x = a cos t d t ] {\displaystyle P=4\int _{0}^{a}ydx=4\int _{0}^{a}b\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx=[x=a\sin t,\ dx=a\cos tdt]}
= 4 ∫ 0 π 2 b ⋅ cos 2 t ⋅ cos t d t = 4 a b ∫ 0 π 2 cos 2 t d t {\displaystyle =4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}b\cdot {\sqrt {\cos ^{2}t}}\cdot \cos tdt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}tdt} = 4 a b ∫ 0 π 2 1 + cos 2 t 2 d t = 4 a b ∫ 0 π 2 d t 2 + a b ∫ 0 π 2 cos 2 t d 2 t {\displaystyle =4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2t}{2}}dt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dt}{2}}+ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos 2td2t} = 4 a b ⋅ π 2 | π 2 + a b sin 2 t | 0 π 2 = a b π . {\displaystyle =4ab\cdot {\frac {\pi }{2}}{\Bigg |}^{\frac {\pi }{2}}+ab\sin 2t{\Bigg |}_{0}^{\frac {\pi }{2}}=ab\pi .} Obim O {\displaystyle O} 4 a E ( ε ) {\displaystyle 4aE(\varepsilon )} E {\displaystyle E} eliptični integral druge vrste .
Tačan beskonačan red glasi:
C = 2 π a [ 1 − ( 1 2 ) 2 ε 2 − ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 ε 4 3 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) 2 ε 6 5 − … ] ; {\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}\varepsilon ^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{\varepsilon ^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{\varepsilon ^{6} \over 5}-\dots }\right];\!\,} ili
C = 2 π a ∑ n = 0 ∞ { − [ ∏ m = 1 n ( 2 m − 1 2 m ) ] 2 ε 2 n 2 n − 1 } ; {\displaystyle C=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{\varepsilon ^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace };\,\!} Dobra aproksimacija Ramanujanova , a koja glasi:
C ≈ π [ 3 ( a + b ) − ( 3 a + b ) ( a + 3 b ) ] {\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,} ili bolja aproksimacija :
C ≈ π ( a + b ) ( 1 + 3 ( a − b a + b ) 2 10 + 4 − 3 ( a − b a + b ) 2 ) ; {\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right);\!\,} Za posebni slučaj, gdje je mala osa polovine velike ose, možemo koristiti:
C ≈ π a ( 9 − 35 ) 2 ; {\displaystyle C\approx {\frac {\pi a(9-{\sqrt {35}})}{2}};\!\,} ili
C ≈ a 2 93 + 1 2 3 ; {\displaystyle C\approx {\frac {a}{2}}{\sqrt {93+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}};\!\,}
Općenitije, dužina luka dijela obima, kao funkcija obuhvatnog ugla, data je nepotpunim eliptičkim integralom . Inverzna funkcija , obuhvatni ugao kao funkcija dužine luka, je data preko eliptičkih funkcija .
Zbir rastojanja ma koje tačke elipse od njenih žiža, fokusa F 1 {\displaystyle F_{1}} F 2 {\displaystyle F_{2}} 2 a {\displaystyle 2a}
Dokaz Ako je M ( x , y ) {\displaystyle M(x,y)} N {\displaystyle N} d {\displaystyle d} N ′ {\displaystyle N^{\prime }} d ′ {\displaystyle d^{\prime }}
F M ¯ = e ⋅ M N ¯ , F ′ M ¯ = e ⋅ M N ′ ¯ , {\displaystyle {\overline {FM}}=e\cdot {\overline {MN}},\ {\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot {\overline {MN^{\prime }}},}
e ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle e\in (0,1)}
F M ¯ + F ′ M ¯ = e ⋅ ( M N ¯ + M N ′ ¯ ) {\displaystyle {\overline {FM}}+{\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot ({\overline {MN}}+{\overline {MN^{\prime }}})} Zbir u zagradi desno je rastojanje između direktrisa, koje iznosi e ∗ 2 ∗ ( a / e ) {\displaystyle e*2*(a/e)}
F M ¯ + F ′ M ¯ = e ⋅ a e = 2 a , {\displaystyle {\overline {FM}}+{\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot {\frac {a}{e}}=2a,} 
![{\displaystyle P=4\int _{0}^{a}ydx=4\int _{0}^{a}b\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx=[x=a\sin t,\ dx=a\cos tdt]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e823743a50214588593f9e05a4eaa60e6e16d4)
![{\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}\varepsilon ^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{\varepsilon ^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{\varepsilon ^{6} \over 5}-\dots }\right];\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9856e7323531776bfbf85f9e6dea584d29ec7708)
![{\displaystyle C=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{\varepsilon ^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace };\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1598070e9de15ce43de0b668d4fdcc4803843c)
![{\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd246503ae5e29912d4149f118c5d7145d637085)
