Curvatura mitjana

En matemàtiques, la curvatura mitjana $H$ d'una superfície $S$ és una mesura extrínseca de curvatura que prové de la geometria diferencial i que descriu localment la curvatura d'una superfície incrustada en algun espai ambiental com ara l'espai euclidià.

Diferència entre els radis de curvatura mitjans i gaussians

El concepte va ser utilitzat per Sophie Germain en el seu treball sobre la teoria de l'elasticitat, publicat el 1831. Jean Baptiste Marie Meusnier el va utilitzar el 1776, en els seus estudis de superfícies mínimes. És important en l'anàlisi de superfícies mínimes, que tenen una curvatura mitjana zero, i en l'anàlisi d'interfícies físiques entre fluids (com ara pel·lícules de sabó) que, per exemple, tenen una curvatura mitjana constant en fluxos estàtics, mitjançant l'equació de Young-Laplace.

Definició

Deixa $p$ ser un punt a la superfície $S$ dins de l'espai euclidià tridimensional R³. Cada pla que passa per $p$ que conté la línia normal a $S$ talls $S$ en una corba (plana). Si es fixa una elecció de normal unitària, es dóna una curvatura amb signe a aquesta corba. Com que el pla es gira un angle $\theta$ (sempre conté la línia normal) que la curvatura pot variar. La curvatura màxima $\kappa _{1}$ i una curvatura mínima $\kappa _{2}$ es coneixen com les curvatures principals de $S$ .

La curvatura mitjana a $p\in S$ és llavors la mitjana de la curvatura amb signe sobre tots els angles $\theta$ :

$H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\;d\theta$

Aplicant el teorema d'Euler, això és igual a la mitjana de les curvatures principals (Spivak 1999, Volume 3, Chapter 2):

$H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).$

Més generalment (Spivak 1999, Volume 4, Chapter 7), per a una hipersuperfície $T$ la curvatura mitjana es dóna com

$H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.$

utilitzant les relacions de Gauss-Weingarten, on $X(x)$ és una hipersuperfície suaument incrustada, ${\vec {n}}$ un vector normal unitari, i $g_{ij}$ el tensor mètric.

Una superfície és una superfície mínima si i només si la curvatura mitjana és zero. A més, una superfície que evoluciona sota la curvatura mitjana de la superfície $S$, es diu que obeeix una equació de tipus calor anomenada equació de flux de curvatura mitjana.

L'esfera és l'única superfície incrustada de curvatura mitjana positiva constant sense vora ni singularitats. Tanmateix, el resultat no és cert quan la condició "superfície incrustada" es debilita a "superfície immersa".

Superfícies en l'espai 3D

Per a una superfície definida en un espai 3D, la curvatura mitjana està relacionada amb la divergència d'una normal unitària de la superfície:

$2H=-\nabla \cdot {\hat {n}}$

on el signe de la curvatura depèn de l'elecció de la normal (cap a dins o cap a fora): la curvatura és positiva si la superfície es corba "cap a" la normal. La fórmula anterior és vàlida per a superfícies en un espai 3D definides de qualsevol manera, sempre que es pugui calcular la divergència de la normal unitària.

La curvatura mitjana també es pot calcular com a

$2H={\text{Trace}}((\mathrm {II} )(\mathrm {I} ^{-1}))$

on I i II denoten la primera i la segona forma fonamental, respectivament.

Si $S(x,y)$ és una parametrització de la superfície i $u,v$ són dos vectors linealment independents en l'espai de paràmetres, aleshores la curvatura mitjana es pot escriure en termes de les matrius de forma quadràtica primera i segona com a $${\frac {lG-2mF+nE}{2(EG-F^{2})}}$$ on $E=\mathrm {I} (u,u)$, $F=\mathrm {I} (u,v)$, $G=\mathrm {I} (v,v)$, $l=\mathrm {II} (u,u)$, $m=\mathrm {II} (u,v)$, $n=\mathrm {II} (v,v)$

Per al cas especial d'una superfície definida com a funció de dues coordenades (una funció bivariada), p. ex. $z=S(x,y)$, i utilitzant la normal que apunta cap amunt, l'expressió de curvatura mitjana (doblada) és

${\begin{aligned}2H&=-\nabla \cdot \left({\frac {\nabla (z-S)}{|\nabla (z-S)|}}\right)\\&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla S-\nabla z}{\sqrt {1+|\nabla S|^{2}}}}\right)\\&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}$

En particular, en un punt on $\nabla S=0$, la curvatura mitjana és la meitat de la traça de la matriu hessiana de $S$ .

Si a més a més se sap que la superfície és axialment simètrica amb $z=S(r)$ ,

$2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{1/2}}},$

on ${\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r}}$ prové del derivat de ${\textstyle z=S(r)=S\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$

Forma implícita de curvatura mitjana

La curvatura mitjana d'una superfície especificada per una equació $F(x,y,z)=0$ es pot calcular utilitzant el gradient $\nabla F=\left({\frac {\partial F}{\partial x}},{\frac {\partial F}{\partial y}},{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)$ i la matriu hessiana

$\textstyle {\mbox{Hess}}(F)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}\end{pmatrix}}.$

La curvatura mitjana ve donada per:

$H={\frac {\nabla F\ {\mbox{Hess}}(F)\ \nabla F^{\mathsf {T}}-|\nabla F|^{2}\,{\text{Trace}}({\mbox{Hess}}(F))}{2|\nabla F|^{3}}}$

Una altra forma és com la divergència de la normal unitària. Una normal unitària ve donada per ${\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}$ i la curvatura mitjana és

$H=-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}\right).$

En mecànica de fluids

En mecànica de fluids s'utilitza ocasionalment una definició alternativa per evitar factors de dos:

$H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\,$.

Això fa que la pressió segons l'equació de Young-Laplace dins d'una gota esfèrica d'equilibri sigui multiplicada per temps de tensió superficial $H_{f}$; les dues curvatures són iguals al recíproc del radi de la gota

$\kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}\,$

Superfícies mínimes

Una representació de la superfície mínima de Costa.

Una superfície mínima és una superfície que té curvatura mitjana zero en tots els punts. Exemples clàssics inclouen el catenoide, l'helicoide i la superfície d'Enneper. Descobriments recents inclouen la superfície mínima de Costa i el giroide.

Superfícies CMC

Una extensió de la idea d'una superfície mínima són les superfícies de curvatura mitjana constant. Les superfícies de curvatura mitjana constant unitària en l'espai hiperbòlic s'anomenen superfícies de Bryant.