Крива

Парабола, една од најпростите криви (по правите линии)

Крива — апстракција на обична претстава за линија^[1], која обично не е права (иако технички може да биде).

Интуитивно кривата можеме да ја замислиме како трага од движењето на една точка. Оваа дефиниција стои во Евклидовото дело „Елементи“, напишано пред повеќе од 2300 години.

Во современата математика, дефиницијата за крива е формализирана како: слика на интервал во тополошки простор со непрекината функција. Во некои ситауции функцијата што ја определува кривата се нарекува параметризација, а кривата е параметарска крива. Ваквите криви понекогаш се нарекуваат тополошки криви за да се различат од поограничените криви како диференцијабилните. Оваа дефиниција ги опфаќа највеќето криви во математиката; значајни исклулчоци се кривите на нивоа (кои се унии на криви и изолирани точки) и алгебарските криви (подолу). Овие случаи понекогаш се нарекуваат имплицитни криви, бидејќи начелно се определени со импливитни равенки.

Сепак, класата на тополошки криви е многу широка и содржи некои криви што не личат на такви според нашето очекување, или што воопшто не можат да се нацртаат. Ваков случај се простороисполнувачките и фракталните криви. За да се обезбеди повеќе правилност, функцијата што определува крива се претполага за диференцијабилна, и кривата тогаш е диференцијабилна крива.

Една рамнинска алгебарска крива е нултото множество на полином во две неопределени. Поопшто земено, алгебарска крива е нултото множество на конечно множество од полиноми, кое го задоволува дополнителниот услов за биде алгебарско многуобразие со димензија еден. Ако коефициентите на полиномите припаѓаат на поле $k$ , кривата ќе биде определена на $k$ . In the common case of a реална алгебарска крива, каде $k$ е полето на реални броеви, алгебарска крива со конечна унија од тополошки криви. Кога земаме предвид комплексни нули, имаме комплексна алгебарска крива, која, од тополошко гледиште, не е крива, туку површина, и се нарекува Риманова површина. Иако не се криви во вообичаената смисла, алгебарските криви определени врз други полиња се долго изучувани. Од особено значење се алгебарските криви врз конечно поле кои наоѓаат широка примена во современата криптографија.

Историја

Интересот за кривите почнал долго пред математиката. Тоа може да се види од бројните предмети украсени со криви уште од праисториско време.^[2]

Историски гледано, поимот линија се користел наместо современиот поим крива. Оттука доаѓа поимот права или права линија. На пример, во Книга I од „Елементи“ на Евклид, линијата се дефинира како „бесширинска должина“ (Деф. 2), а правата како „линија која лежи рамно на точкиете во неа“ (Деф. 4). Евклидовата идеја за линија можеби е појасна од исказот „Крајностите на една линија се точки“, (Деф. 3).^[3] Подоцнежните коментатори понатаму ги класификувале линиите на разни начини. На пример:^[4]

Сложени линии (линии што образуваат агол)
Несложени линии
- Определени (линии кои не се протегаат бесконечно, како на пр. кружница)
- Неопределени (линии кои се протегаат бесконечно, како на пр. права или парабола)

Старогрчките геометри проучувале многу видови криви. Една од причините е намерата да се решат проблеми нерешливо со стандардната конструкција со шестар и линијар. Овие криви се:

Конусните пресеци, темелно проучувани од Аполониј од Перга
Диоклева цисоида, проучувана од Диокле и користена како начин на удвојување на коцката.^[5]
Никомедова конхоида, проучувана од Никомед како начин на удвојување на коцката и трисекција на аголот.^[6]
Архимедова спирала, проучувана од Архимед како начин на трисецирање на аголот и квадрирање на кругот.^[7]
Спирични пресеци, пресеци на торови проучувани од Персеј; како конусни пресеци проучувани од Аполониј од Перга.

Фундаментален напредок во теоријата на кривите е направен со воведувањето на аналитичка геометрија од страна на Рене Декарт во XVII век. Ова овозможува опишување на кривите со равенки наместо со сложени геометриски конструкции. Ова не само што овозможило дефинирање и проучување на нови криви, туку и правење на формална разлика помеѓу алгебарски криви кои се определуваат со полиномни равенки и трансцендентните криви, кои не можат. Претходно кривите се опишувале како „геометриски“ или „механички“ според тоа како може да се создадат.^[2]

Јоханес Кеплер ги применил конусните пресеци во астрономијата.

Исак Њутн работел на ран пример на варијационо сметање. Решенијата на традиционални проблеми како прашањата за брахистохроната и тавтохроната, вовеле нови начини на гледање на својствата на кривите (во случајов, циклоидата). Синџирката е наречена по решението на проблемот со висечки ланци, проблем кој станал рутински решлив по пат на диференцијално сметање.

Во XVIII век се појавила теоријата за рамнински алгебарски криви воопшто. Њутн ја проучувал кубната рамнинска крива, во општо впишување на реалните точки во „овали“. Исказот на Безуовата теорема покажал низа аспекти кои не биле непосредно достапни за геометријата од тоа време, во врска со сингуларни точки и сложени решенија.

Почнувајќи од XIX век на теоријата за кривите се гледа како на посебен случај на прва димензија од теоријата за многуобразијата и алгебарските многуобразија. Сепак, многу прашања и понатаму се однесуваат особено на кривите, како она за простороисполнувачките криви, Жордановата теорема и Шеснаесеттиот проблем на Хилберт.

Тополошка крива

Тополошка крива може да се определи со непрекината функција $\gamma \colon I\rightarrow X$ од интервал $I$ на реалните броеви во тополошки простор $X$ . Поточно речено, the curve is the слика of $\gamma .$ Меѓутоа, во некои контексти, самата $\gamma$ се нарекува крива, особено кога сликата не изгледа на она што го подразбираме како крива и недоволно ја карактеризира $\gamma .$

На пример, сликата на Пеановата крива или, поопшто земено, простороисполнувачка крива целосно го исполнува квадратот, и затоа не дава никакви сознанија за тоа како е определена $\gamma$ .

Кривата $\gamma$ е затворена или е јамка ако $I=[a,b]$ and $\gamma (a)=\gamma (b)$ . Така, затворената крива е сликата на непрекинатото пресликување на кружница. Незатворената крива може да се нарече и отворена крива.

Доколку доменот на една тополошка крива е затворен и ограничен интервал $I=[a,b]$ , кривата се нарекува патека, наречена и тополошки лак (или само лак).

Кривата е проста ако е слика на интервал или кружница по инјективна непрекината функција. Со други зборови, ако кривата е определена од непрекината функција $\gamma$ со интервал како домен, кривата е проста ако и само ако било кои две различни точки на интервалот имаат различни слики, освен можеби кога точките се завршници на интервалот. Интуитивно, проста крива е крива која „не се самопресекува и не ѝ недостасуваа точки“ (непрекината несамопресекувачка крива).^[8]

Рамнинска крива е крива за која $X$ е Евклидовата рамнина—ова се примерите што први се среќаваат—или во некои случаи проективната рамнина. Просторна крива е крива за која $X$ е барем тридимензионална; искосена крива е просторна крива која не лежи на ниедна рамнина (на пример, завојница). Овие дефиниции за рамнина, простор и искосени криви важат и за реалните алгебарски криви, иако гореспоменатата дефиниција за крива не важи (реална алгебарска крива може да биде несврзана). Постар поим за просторна крива е „крива со двојна закривеност“ бидејќи таа се криви на два начина (со закривеност и усуканост).

Простата затворена рамнинска крива се нарекува Жорданова крива. Таа се дефинира и како несамопресекувачка непрекината јамка на рамнината.^[9] Жордановата теорема вели дека комплементот во рамнина на Жордановата крива се состои од две несврзани составници (т.е. кривата ја дели рамнината на две непресекувачки области кои се обете сврзани). Ограниченат аобласт во Жодрановата крива се нарекува Жорданов домен.

Дефиницијата за крива опфаќа фигури кои обично не би ги нарекле криви. На пример, сликата на крива може да покрива квадрат на рамнина (простороисполнувачка крива), а проста крива може да има позитивна плоштина.^[10] Фракталните криви може да имаат својства кои делуваат чудно во вообичаена смисла. На пример, една фрактална крива може да има Хаусдорфова димензија поголема од еден (погл. Кохова снегулка), па дури и позитивна плоштина. Пример зџа ова е змејската крива, која има многу други наобични својства.

Диференцијабилна крива

Општо речено, диференцијабилна крива е крива што се дефинира како месна слика на инјективна диференцијабилна функција $\gamma \colon I\rightarrow X$ од интервал $I$ на реалните броеви во диференцијабилно многуобразие $X$ , често $\mathbb {R} ^{n}.$

Поуточнето, диференцијабилната крива е подмножество $C$ од $X$ каде секоја точка на $C$ има околина $U$ таква што $C\cap U$ е дифеоморфно на интервалот од реални броеви. Со други зборови, диференцијабилната крива е диференцијабилно многуобразие со една димензија.

Диференцијабилен лак

Во Евклидовата геометрија, лак (симбол: ⌒) е сврзано подмножество на диференцијабилна крива.

Лаковите на линија се нарекуваат отсечки, полуправи или прави, зависно од тоа дали се ограничени.

Чест пример за крив лак е лак на кружница, наречен кружен лак.

Кај сфера (или сфероид), лакот на голема кружница (или голема елипса) се нарекува голем лак.

Должина на крива

Ако $X=\mathbb {R} ^{n}$ е во $n$ -димензионален Евклидов простор, и ако ${\displaystyle \gamma$ е инјективна и непрекинато диференцијабилна функција, тогаш должината на $\gamma$ се дефинира како величината

\ell (\gamma ):=\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|\,\mathrm {d} t.

Должината на една крива е независна од параметризацијата $\gamma$ .

Поточно речено, должината $s$ на график на непрекинато диференцијабилна функција $y=f(x)$ определена на затворен интервал $[a,b]$ е

s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x},

што интуитивно може да се замисли како примена на Питагоровата теорема во инфинитезимален размер непрекинато по целата должина на кривата.^[11]

Поопшто земено, ако $X$ е метрички простор со метрика $d$ , тогаш должината на крива ${\displaystyle \gamma$ ја определуваме со

\ell (\gamma ):=\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))\;{\Bigg |}\;n\in \mathbb {N} ,\;a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}.

каде супремумот се зема на сите $n\in \mathbb {N}$ и сите разбивања $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ од $[a,b]$ .

Исправлива крива е крива со конечна должина. Една крива ${\displaystyle \gamma$ се нарекува неутрална (или единичнобрзинска или параметризирана од должината на лакот) ако за било кој $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ така што $t_{1}\leq t_{2}$ , имаме

\ell \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.

Ако ${\displaystyle \gamma$ е Липшицово непрекината функција, тогаш таа е автоматски исправлива. Покрај тоа, во овој случај, можеме да ја определиме брзината (или метрички извод) на $\gamma$ во $t\in [a,b]$ како

v_{\gamma }(t):=\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}

и потоа да покажеме дека

\ell (\gamma )=\int _{a}^{b}v_{\gamma }(t)\,\mathrm {d} t.

Диференцијална геометрија

Иако првите примери за криви што ги среќаваме се претежно рамнински криви (на секојдневен јазик криви линии во дводимензионален простор), има очигледни примери како завојницата кои постојат во три димензии во природата. Геометријата и класичната механика имаат потреба да работат со криви во просторот за било колку димензии. општата релативност, a светска линија е крива во време-просторот.

Ако $X$ е диференцијабилно многуобразие, тогаш можеме да го дефинираме поимот за диференцијабилна крива во $X$ . Оваа општа идеја е доволна да опфати многу примени на криви во математиката. Од месна гледна точка можеме да речеме дека $X$ е Евклидов простор. Од друга страна, полезно е да појдеме поопшто, со тоа што (на пример) е можно да се дефинираат допирните вектори на $X$ со ова поимување за крива.

Ако $X$ е мазно многуобразие, мазна крива во $X$ е мазно пресликување

\gamma \colon I\rightarrow X

.

Ова е основен поим. Постојат и повеќе или помалку ограничени идеи. Ако $X$ е $C^{k}$ многуобразие (т.е. многуобразие чии преодни пресликувања на картата се $k$ пати непрекинато диференцијабилни), тогаш $C^{k}$ кривата во $X$ е таква крива за која се претполага дека е само $C^{k}$ (т.е. $k$ пати непрекинато диференцијабилна). Ако $X$ е аналитичко многуобразие (т.е. бесконечно диференцијабилно, а картите можат да се изразат како степенски ред), а $\gamma$ е аналитичко пресликување, тогаш за $\gamma$ се вели дека е аналитичка крива.

За една диференцијабилна крива се вели дека е правилна ако нејзиниот извод никогаш не се губи. (Правилна крива никогаш не забавува до мирување или не се враќа кон себе.) За две $C^{k}$ диференцијабилни криви

\gamma _{1}\colon I\rightarrow X

и

\gamma _{2}\colon J\rightarrow X

се вели дека се еквивалентни ако има биективно $C^{k}$ пресликување

p\colon J\rightarrow I

така што инверзното пресликување

p^{-1}\colon I\rightarrow J

е воедно $C^{k}$ , и

\gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))

за сите $t$ . Пресликувањето $\gamma _{2}$ се нарекува репараметризација на $\gamma _{1}$ ; и ова чини однос на еквивалентност на множеството од сите $C^{k}$ диференцијабилни криви во $X$ . Лак $C^{k}$ е класа на еквивалентност на $C^{k}$ криви во условите на односот на репараметризација.

Алгебарска крива

Алгебарски криви се кривите со кои се занимава алгебарската геометрија. Рамнинска алгебарска крива е множеството од точки на координати $x, y$ такви што $f (x, y) = 0$ , каде $f$ е полином во две променливи определени над некое поле $F$ . Велиме дека кривата е определена над $F$ . Алгебарската геометрија обично ги зема предвид не само точките со координати во $F$ , туку сите точки со координати на алгебарски затворено поле $K$ .

Ако C е крива определена од полином f со коефициенти на F, велиме дека кривата е определена над F.

Во случај на крива определена над реални броеви, точките обично ќе бидат на комнплексни координати. Во таков случај, една точка со реални координати е реална точка, а множеството од сите реални точки е реалниот дел на кривата. Затоа само реалниот дел на алгебарската крива може да биде тополошка крива (ова не е секогаш така, бидејќи реалниот дел може да биде несврзан и да содржи изолирани точки). Целата крива, односно множеството до нејзините комплексни точки, од тополошко гледитше, претставува површина. Поконкретно, несингуларните комплексни проективни алгебарски криви се наречени Риманови површини.

Точките на крива $C$ со координати на поле $G$ се рационални над $G$ и можат да се запишат како $C (G)$ . Кога $G$ е полето од рационалните броеви, просто ги сметаме за рационални точки. На пример, Последната Фермаова теорема може да се искаже како: За $n > 2$ , секоја рационална точка на Фермаовата крива од степен $n$ има нулта координата.

Алгебарските криви може да бидат и просторни криви, или пак криви во простори од повисока диманзија $n$ . Тие се дефнираат како алгебарски многуобразија од димензија еден. Може да се добијат како чести решенија на барем $n -1$ полиномни равенки во $n$ променливи. Ако $n -1$ полиноми се доволни за определување на крива во простор од димензија $n$ , велиме дека кривата е потполн пресек. Со елиминирање на променливите (со било кое средство на теоријата за поништување), алгебарската крива може да се проектира на рамнинска алгебарска крива], која сепак може да доведе нови сингуларности како повратни точки или двојни точки.

Рамнинска крива може да се стане потполна крива на проективната рамнина: ако кривата се определи со полином $f$ со вкупен степен $d$ , тогаш $w d f (u / w, v / w)$ се упростува на хомоген полином $g (u, v, w)$ од степен $d$ . Вредностите на $u, v, w$ така што $g (u, v, w) = 0$ се хомогените координати на точки на свршетокот на кривата на проективната рамнина, а точките на првичната крива се оние за кои $w$ не е нула. Ваков пример е Фермаовата крива $u n + v n = w n$ , која има афин облик $x n + y n = 1$ . Сличен процес на хомогенизација можеме да определиме за криви во повисокодимензионални простори.

Освен линиите, најпрости примери за алгебарски криви се конусните пресеци, кои се несингуларни криви од втор степен и нулти род. Елиптичните криви, кои се несингуларни криви од прв род, се проучуваат во теорија на броевите, и наоѓаат важна примена во криптографијата.

Поврзано

Наводи

↑ Целакоски, Наум; Целакоска-Јорданова, Весна; Целакоска, Емилија (2021). Математички лексикон (PDF). Скопје: УКИМ. стр. 193.
1 2 Lockwood стр. ix
↑ Heath стр. 153
↑ Heath стр. 160
↑ Lockwood стр. 132
↑ Lockwood стр. 129
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Spiral of Archimedes“, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews
↑ „Jordan arc definition at Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc“. Dictionary.reference.com. Посетено на 14 март 2012.
↑ Sulovský, Marek (2012). Depth, Crossings and Conflicts in Discrete Geometry (англиски). Logos Verlag Berlin GmbH. стр. 7. ISBN 9783832531195.
↑ Osgood, William F. (јануари 1903). „A Jordan Curve of Positive Area“. Transactions of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 4 (1): 107–112. doi:10.2307/1986455. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455.
↑ Davis, Ellery W.; Brenke, William C. (1913). The Calculus (англиски). MacMillan Company. стр. 108. ISBN 9781145891982.

Надворешни врски

Индекс на познати криви, Универзитет во Сент Ендрус (англиски)
Математички криви — збирка од 874 дводимензионални математички криви (англиски)
Галерија на просторни криви направини од кружници, со анимации од Питер Мозес (англиски)
Криви лини, Енциклопедија на математиката (англиски)
1-многуобразија, Атлас на многуобразија (англиски)

[1] Целакоски, Наум; Целакоска-Јорданова, Весна; Целакоска, Емилија (2021). Математички лексикон (PDF). Скопје: УКИМ. стр. 193.

[Lockwood-2] 1 2 Lockwood стр. ix

[3] Heath стр. 153

[4] Heath стр. 160

[5] Lockwood стр. 132

[6] Lockwood стр. 129

[7] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Spiral of Archimedes“, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews

[8] „Jordan arc definition at Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc“. Dictionary.reference.com. Посетено на 14 март 2012.

[9] Sulovský, Marek (2012). Depth, Crossings and Conflicts in Discrete Geometry (англиски). Logos Verlag Berlin GmbH. стр. 7. ISBN 9783832531195.

[10] Osgood, William F. (јануари 1903). „A Jordan Curve of Positive Area“. Transactions of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 4 (1): 107–112. doi:10.2307/1986455. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455.

[11] Davis, Ellery W.; Brenke, William C. (1913). The Calculus (англиски). MacMillan Company. стр. 108. ISBN 9781145891982.

[1]