log2(3)

$\log_23$, $\operatorname{lb}3$[1]

대략 1.58496...에 해당하며 로그의 정의에 따라 $2^x=3$을 만족시키는 $x$의 값이다. 로그의 성질에서 접할 수 있는 대표적인 초월수 중 하나이다.

거듭제곱근 중 대수적 수로 표현이 안 되는 상황에서 log2(3)의 도입은 그것을 표현할 수 있게 하는 대표적인 사례로 제시된다.

초월수임을 증명하는 과정은 다음과 같다. 먼저 무리수임을 증명하자. 귀류법으로, $\log_23$가 유리수라고 가정하자. 다시 말해 어떤 0이 아닌 정수 $a$, $b$가 있어 $\log_23=\frac ab$ 일 것이다. 로그를 전개하면 $\sqrt[b]{2^a}=3$ 양변을 정리하면 $2^a=3^b$. 가정상 $a$와 $b$는 0이 아닌 정수이므로 좌변은 소인수가 $2$, 우변은 소인수가 $3$밖에 없어 해당 등식은 모순이다. 따라서 $\log_23$은 무리수이다.

이제 초월수임을 증명할 수 있다. 우선 $\log_23$이 대수적 무리수라고 가정하자. 겔폰트-슈나이더 정리가 참임을 이용하여, 밑이 1보다 큰 자연수이고 지수가 대수적 무리수이면 이를 연산한 결과는 항상 초월수이다. 따라서 가정상 1보다 큰 자연수 $2$를 밑으로 하고 $\log_23$을 지수로 두면 결과값은 초월수일 것이다. 하지만 로그의 정의에 따라 밑이 $2$, 지수가 $\log_23$일때 그 결과값 $3$은 초월수가 아니므로 모순이다. 따라서 $\log_23$은 초월수이다.