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가군

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1. 정의2. 선형대수학과의 연결3. 동형사상 정리
3.1. 제1 동형사상 정리3.2. 제2 동형사상 정리3.3. 제3 동형사상 정리
4. Annihilator와 순환 가군5. 텐서곱(tensor product)
 
 
 
 

1. 정의[편집]

 
 
 
 
가군(加群, module)은 가환군 위에 환의 작용(ring action)이 정의된 대수 구조라고 할 수 있다. 환의 작용은 군의 작용과 비슷한 개념으로, 환의 곱셈 구조가 주어진 집합에 작용하는 것이다.[1] 다만, 작용받는 집합이 가환군으로 덧셈 구조를 가지고 있고 환 자체도 덧셈 구조를 가지고 있으므로, 환에서 곱셈과 덧셈 사이에 분배법칙을 요구한 것과 마찬가지로 환의 작용도 자기 자신의 덧셈과 작용받는 가환군의 덧셈에 대한 분배 법칙을 만족하길 요구한다.

이를 풀어쓰면 다음과 같다: MM 이 환 (R,+,×)(R, +, \times) 위에서의 가군이라는 것은 다음과 같은 두 연산이 정의되어 있다는 것이다.
  • 덧셈 +:M×M→M +: M × M \rightarrow M 가 정의되어 있으며 (M,+) (M,+) 는 아벨 군이다. 즉, 임의의 a,b,c∈M a, b, c \in M 에 대해 다음이 성립한다.
    • 결합 법칙: (a+b)+c=a+(b+c) (a+b) + c = a + (b+c)
    • 교환 법칙: a+b=b+a a + b = b + a
    • 항등원 존재: 0M∈M 0_M \in M 가 존재해 a+0M=0M+a=a a + 0_M = 0_M + a = a
    • 역원 존재: a+x=x+a=0M a + x = x + a = 0_M 를 만족하는 x∈M x \in M 가 존재한다.
  • 스칼라곱(scalar multiplication) ⋅:R×M→M \cdot: R \times M \rightarrow M 가 정의되어 있으며 이는 모노이드 (R,×) (R, \times) 의 작용이고, RR 과 MM 의 ++ 에 대해 분배 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 a,b∈R a, b \in R 과 x,y∈M x, y \in M 에 대해 다음을 만족한다.
    • 결합 법칙: (ab)⋅x=a⋅(b⋅x) (ab) \cdot x = a \cdot (b \cdot x)
    • 분배 법칙
      • (a+b)⋅x=a⋅x+b⋅x (a+b)\cdot x = a\cdot x + b\cdot x
      • a⋅(x+y)=a⋅x+a⋅y a\cdot (x+y) = a \cdot x + a\cdot y
    • 항등원 곱: R R 의 곱셉에 대한 항등원 1R 1_R 에 대해 1R⋅x=x 1_R \cdot x = x
위의 '항등원 곱' 조건은 환의 정의에 따라 달라진다. 환의 정의에 곱셈의 항등원을 요구하지 않는 경우에는 이 조건이 생략된다. 이 정의가 더욱 많은 경우를 다룰 수 있긴 하지만, 스칼라곱이 모노이드 작용조차 되지 못하고 반군의 작용이 되어버리는 문제점이 생긴다.[2]

또한, 스칼라곱의 경우 반드시 왼쪽에서 행해질 이유는 없다. 스칼라곱을 ⋅:M×R→M \cdot : M \times R \rightarrow M 으로 둘 경우 이 집합을 오른쪽 가군(right module)이라고 부르며, 이에 대응되는 의미로 여기서 정의하는 가군을 왼쪽 가군(left module)이라 부른다. 같은 환 위에서 왼쪽 가군이자 오른쪽 가군이면서 같은 원소에 대한 스칼라 곱 값이 같을 경우 이 대수 구조를 쌍가군(bimodule)이라 부른다.
 
 
 
 

2. 선형대수학과의 연결[편집]

 
 
 
 
위의 정의에서 바로 모든 벡터공간은 RR 이 체인 가군이라는 것을 깨달을 수 있을 것이다. 공리가 부족해보이겠지만 가군의 정의로부터 RR 이 체일 경우 벡터 공간의 조건도 만족함을 쉽게 확인할 수 있다.

그러면 벡터공간이 아닌 가군의 예시로는 무엇이 있을까? 먼저 대수학을 공부하다보면 자주 접하는 표기인 nx=x+...+x nx = x + ... + x에 대해 생각해보자. 이 표기를 몇 번 사용하다보면 곧바로 이것이 마치 xx 에 nn 을 "곱하는" 것과 비슷하다는 것을 깨달을 것이다. 이 사실은 가군을 통해 설명할 수 있다. 즉, 임의의 아벨군 (G,+)(G, +) 에 대해, Z\mathbb{Z} 의 원소 nn 에 의한 스칼라곱을 nxnx 로 정의하면[3] GG 는 Z\mathbb{Z} 위의 가군이다.

다른 예로는 아이디얼(ideal)을 들 수 있다. 환 RR 에서의 아이디얼 II 에 대해 스칼라곱을 RR 에서의 곱셈 연산으로 주면 아이디얼의 정의에 따라 스칼라곱은 II 에 대해 닫혀있고, 따라서 II 는 RR 위의 가군이라 할 수 있을 것이다. 덧붙여서, RR 은 RR 의 아이디얼이므로 RR 은 RR 위의 가군이다.

반대로, 가군 개념을 체가 아닌 환 위에서의 벡터공간이라고 이해할 수도 있다. 정의를 확장한 만큼 다음과 같이 벡터공간의 여러 성질도 탈락한다.
  • MM이 RR-가군일 때, r∈Rr \in R, x∈Mx \in M에 대해 rx=0Mrx=0_M이어도 r≠0Rr \neq 0_R일 수 있다.
  • 덧셈군 Q\mathbb{Q}를 Z\mathbb{Z}-가군으로 보았을 때, 어떠한 Q\mathbb{Q}의 부분집합도 선형종속이며, 따라서 기저 개념이 성립하지 않는다.
 
 
 
 

3. 동형사상 정리[편집]

 
 
 
 
가군론에서도 세 가지 기초적인 동형사상 정리를 얻는다. 그 전에 부분가군과 몫가군, 그리고 가군 준동형사상 개념을 정의해야 한다.

MM이 RR-가군이라고 하자. NN이 MM의 RR-부분가군(submodule)이라고 함은 모든 x,y∈N,r∈Rx, y \in N, r \in R에 대해 x+y,rx∈Nx+y, rx \in N임을 의미하고, N<RMN<_{R}M이라 쓴다. 이 때 r=−1Rr=-1_R로 잡으면 반드시 −x∈N-x \in N임을 짚고 넘어가자.

x+N={x+n∣n∈N}x+N=\{x+n | n \in N\}일 때 (x+N)+(y+N)=(x+y)+N(x+N)+(y+N)=(x+y)+N, r(x+N)=rx+Nr(x+N)=rx+N으로 정의하면 이 두 연산, 즉 덧셈과 스칼라에 의해 M/N={x+N∣x∈M}M/N=\{x+N | x \in M\}은 RR-가군을 이루고, 이를 몫가군(quotient module)이라고 한다. 스칼라곱을 저렇게 정의하는 이유는 어차피 a∈Na \in N이면 ra∈Nra \in N이기 때문이며, 이에 따라 잘 정의된다.

이제 RR-가군 M,M′M, M'을 생각하자. 함수 f:M→M′f: M \rightarrow M'이 존재하여, 모든 x,y∈M,r∈Rx, y \in M, r \in R에 대하여 f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)와 f(rx)=rf(x)f(rx)=rf(x)를 만족한다면 이러한 f를 가군 준동형사상(module homomorphism)이라고 부른다. 물론, ff가 전단사(bijective)일 경우 가군 동형사상(module isomorphism)이라고 부른다.

준비가 거의 다 됐다. 함수 π:M→M/N\pi: M \rightarrow M/N를 π(x)=x+N\pi(x)=x+N으로 정의하면 이것이 준동형사상이 됨을 쉽게 확인할 수 있고, 이를 사영(projective) 준동형사상이라 한다. ker(π)=N,im(π)=M/N\mathrm{ker}(\pi)=N, \mathrm{im}(\pi)=M/N임을 짚고 가자.
 
 
 
 

3.1. 제1 동형사상 정리[편집]

 
 
 
 
제1 동형사상 정리를 기술하기에 앞서 다음 정리를 소개한다.
(Factor Theorem) M,M′M, M'이 RR-가군이고 N<RMN<_{R}M이라 하자. 이 때 준동형사상 f:M→M′f: M \rightarrow M'가 존재한다면, 준동형사상 fˉ:M/N→M′\bar{f}: M/N \rightarrow M'가 유일하게 존재하고, 다음을 만족한다.
  • fˉ\bar{f}가 전사임과 ff가 전사임은 동치이다.
  • fˉ\bar{f}가 단사임과 ker(f)=N\mathrm{ker}(f)=N임은 동치이다.

이제 M′′=im(f)M''=\mathrm{im}(f)라 놓으면 위 정리의 따름정리로 다음을 얻을 수 있고, 이를 제1 동형사상 정리라 한다.
(First Isomorphism Theorem) M/ker(f)≃im(f)M/\mathrm{ker}(f) \simeq \mathrm{im}(f)
 
 
 
 

3.2. 제2 동형사상 정리[편집]

 
 
 
 
(Second Isomorphism Theorem) S,T<RMS, T<_{R}M일 때, (S+T)/S≃T/(S∩T)(S+T)/S \simeq T/(S \cap T)가 성립한다.
 
 
 
 

3.3. 제3 동형사상 정리[편집]

 
 
 
 
(Third Isomorphism Theorem) L<RN<RML<_{R}N<_{R}M일 때, M/N≃(M/L)/(N/L)M/N \simeq (M/L)/(N/L)이 성립한다.
 
 
 
 

4. Annihilator와 순환 가군[편집]

 
 
 
 
MM이 RR-가군이고 x∈Mx \in M일 때, Ix:={r∈R∣rx=0}I_x:= \{r \in R|rx=0 \}이라 쓰고 IxI_x를 annihilator라고 한다. 나아가, I0:={r∈R∣∀x∈M,rx=0}I_0:= \{r \in R|\forall x \in M, rx=0 \}라 쓰고 I0I_0를 annihilator라고 한다. 그러면 IxI_x는 RR의 왼쪽 아이디얼(left ideal)이고, I0I_0은 RR의 양쪽 아이디얼(two-sided ideal)임을 보일 수 있다.

가군이 순환(cyclic)임을 M=Rx:={rx∣r∈R}M=Rx:= \{rx|r \in R \} 꼴로 나타내어진다는 것으로 정의한다.

그러면 다음과 같은 정리를 얻는다.
모든 순환 RR-가군은 몫가군 R/IxR/I_x와 동형이다. RR이 가환환이면, 모든 순환 RR-가군은 R/I0R/I_0와 동형이다.
 
 
 
 

5. 텐서곱(tensor product)[편집]

 
 
 
 
상세 내용 아이콘   자세한 내용은 텐서곱 문서의 5번 문단을 참고하십시오.
 
 
 
 
[1] 사실은, 환의 곱셈 구조는 군이 아니므로 모노이드의 작용(monoid action)이라고 부르는 것이 더 정확하다. 애초에 군의 작용에 역원에 대한 조건이 없었으므로 이런 구분이 크게 의미가 있다고 할 수는 없겠지만 말이다.[2] 만약 환의 정의에 곱셈의 항등원이 포함된다면, 이 조건이 생략된 구조를 유사 가군(pseudomodule)이라 부른다. 반대로, 환의 정의에 곱셈의 항등원이 포함되지 않는다면 이 조건이 포함된 가군을 unital module 또는 module with unity라고 부른다.[3] 0x=0G0x = 0_G , (−n)x=−nx(-n)x = -nx 로 정의한다.

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