Popločanje s kvadratima čije su stranice po dužini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi Fibonačijev niz je matematički niz primećen u mnogim fizičkim , hemijskim i biološkim pojavama. Ime je dobio po italijanskom matematičaru Fibonačiju . Predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule a prva dva člana su mu 0 i 1.
f 0 = 0 {\displaystyle f_{0}=0} f 1 = 1 {\displaystyle f_{1}=1} f n = f n − 1 + f n − 2 , n ≥ 2 {\displaystyle f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2},\;\;n\geq 2} To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao Fn , za n = 0, 1, … , su:
0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , ...Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F 1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F 0 = 0.
Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci , iako su ranije opisani u Indiji .[ 1] [ 2]
Ako znamo Fibonačijeve brojeve F m {\displaystyle F_{m}} F n {\displaystyle F_{n}} F m + n {\displaystyle F_{m+n}}
F m + n = F ( m − 1 ) F n + F m F n + 1 {\displaystyle F_{m+n}=F_{(m-1)}F_{n}+F_{m}F_{n+1}}
Također imamo
F 2 n = F n ( F n + 1 + F n − 1 ) {\displaystyle F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})}
F 3 n = F n + 1 3 + F n 3 + F n − 1 3 {\displaystyle F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}+F_{n-1}^{3}}
Uopšteno
F m n = ∑ k = 1 m ( m k ) ( F n k ( F n − 1 m − k {\displaystyle F_{mn}=\textstyle \sum _{k=1}^{m}{{\binom {m}{k}}(F_{n}^{k}(F_{n-1}^{m-k}}}
Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonači , iako su ranije opisani u Indiji .[ 1] [ 2]
U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj ϕ = 1 + 5 2 {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-x-1=0}
x n − x n − 1 + x n − 2 = 0 {\displaystyle x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}=0}
Iz Binetove formule
1 5 ( ϕ n − ( − ϕ ) − n ) = φ n − ( − φ ) − n 2 φ − 1 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}(\phi ^{n}-(-\phi )^{-n})={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}}
Gdje je
φ = 1 + 5 2 ≈ 1.61803 39887 ⋯ {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\cdots } φ − 1 = 1 − 5 2 = 1 − φ = − 1 φ ≈ − 0.61803 39887 ⋯ {\displaystyle \varphi ^{-1}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }\approx -0.61803\,39887\cdots } Dalje imamo
φ n = φ n − 1 + φ n − 2 {\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}}
i
( φ − 1 ) n = ( φ − 1 ) n − 1 + ( φ − 1 ) n − 2 {\displaystyle (\varphi ^{-1})^{n}=(\varphi ^{-1})^{n-1}+(\varphi ^{-1})^{n-2}}
Za sve vrijednosti a , b definišimo niz
U n = a φ n + b ( φ − 1 ) n {\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}}
Zadovoljena je i relaciija
U n = a φ n − 1 + b ( φ − 1 ) n − 1 + a φ n − 2 + b ( φ − 1 ) n − 2 = U n − 1 + U n − 2 {\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n-1}+b(\varphi ^{-1})^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b(\varphi ^{-1})^{n-2}=U_{n-1}+U_{n-2}}
Neka su a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} U 0 = 0 {\displaystyle U_{0}=0} U 1 = 1 {\displaystyle U_{1}=1}
Brojevi a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
a + b = 0 {\displaystyle a+b=0}
a φ n + b ( φ − 1 ) n = 1 {\displaystyle a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}=1}
Odnosno imamo
a = 1 φ − φ − 1 = 1 5 , b = − a {\displaystyle a={\frac {1}{\varphi -\varphi ^{-1}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\,b=-a}
Uzimajući U 0 {\displaystyle U_{0}} U 1 {\displaystyle U_{1}}
U n = a φ n + b ( φ − 1 ) n = 1 {\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}=1}
Odnosno
a = U 1 − U 0 φ − 1 5 {\displaystyle a={\frac {U_{1}-U_{0}\varphi ^{-1}}{\sqrt {5}}}} b = U 0 φ − U 1 5 {\displaystyle b={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}} Posmatrajmo sada
| ( φ − 1 ) n 5 | < 1 2 {\displaystyle \left|{\frac {(\varphi ^{-1})^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}} Za n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} F n {\displaystyle F_{n}} φ n 5 {\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}
F n = [ φ n 5 ] , n ≥ 0 , {\displaystyle F_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0,} ili
F n = ⌊ φ n 5 + 1 2 ⌋ , n ≥ 0. {\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\ n\geq 0.} Slično ako je F>0 Fiboničijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.
n ( F ) = ⌊ log φ ( F ⋅ 5 + 1 2 ) ⌋ , {\displaystyle n(F)={\bigg \lfloor }\log _{\varphi }\left(F\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}\right){\bigg \rfloor },} gdje se log φ ( x ) {\displaystyle \log _{\varphi }(x)}
Primjer
log φ ( x ) = ln ( x ) / ln ( φ ) = log 10 ( x ) / log 10 ( φ ) {\displaystyle \log _{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log _{10}(x)/\log _{10}(\varphi )}
Najveći zajednički djelitelj dva Fibonačijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa
Posljedice
F m {\displaystyle F_{m}} F n {\displaystyle F_{n}} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} n = 2 {\displaystyle n=2}
F m {\displaystyle F_{m}} F 3 = 2 {\displaystyle F_{3}=2} m = 3 k {\displaystyle m=3k} F m {\displaystyle F_{m}} F 4 = 3 {\displaystyle F_{4}=3} m = 4 k {\displaystyle m=4k} F m {\displaystyle F_{m}} F 5 = 5 {\displaystyle F_{5}=5} m = 5 k {\displaystyle m=5k} F m {\displaystyle F_{m}} m {\displaystyle m} m = 4 {\displaystyle m=4}
F 13 = 233 {\displaystyle F_{13}=233} Obratno ne važi tj ako je m {\displaystyle m} F m {\displaystyle F_{m}}
F 19 = 4181 = 37 ∗ 113 {\displaystyle F{19}=4181=37*113} Njegov polinom x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{2}-x-1} φ {\displaystyle \varphi } − φ − 1 {\displaystyle -\varphi ^{-1}}
lim n → ∞ F n + 1 F n = φ . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}
U nizu Fibonačijevih brojeva kvadrati ≤10^100 su Fibonačijevi brojevi sa indeksima 0, 1, 2, 12: F 0 = 0 2 = 0 {\displaystyle F_{0}=0^{2}=0} F 1 = 1 2 = 1 {\displaystyle F_{1}=1^{2}=1} F 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle F_{2}=1^{2}=1} F 12 = 12 2 = 144 {\displaystyle F_{12}=12^{2}=144}
Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je x + x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 5 x 5 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ F n x n = x 1 − x − x 2 {\displaystyle x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}
Prvih 21 Fibonačijevih brojeva F n {\displaystyle F_{n}} n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . .20 {\displaystyle n=0,1,2,3,....20} [ 3]
F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F 16 F 17 F 18 F 19 F 20 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765
Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.
F n − 2 = F n − F n − 1 , {\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1},} F − n = ( − 1 ) n + 1 F n . {\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.} Niz brojeva F n {\displaystyle F_{n}} n = − 8 , − 7 , . . . .0 , 1 , 2 , . . . .8 {\displaystyle n=-8,-7,....0,1,2,....8} [ 4]
F −8 F −7 F −6 F −5 F −4 F −3 F −2 F −1 F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 −21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21
F 1 + F 2 + F 3 + ⋯ + F n = F n + 2 − 1 {\displaystyle F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1} F 1 + F 3 + F 5 + ⋯ + F 2 n − 1 = F 2 n {\displaystyle F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}} F 2 + F 4 + F 6 + ⋯ + F 2 n = F 2 n + 1 − 1 {\displaystyle F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1} F n + 1 F n + 2 − F n F n + 3 = ( − 1 ) n {\displaystyle F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}} F 1 2 + F 2 2 + F 3 2 + ⋯ + F n 2 = F n F n + 1 {\displaystyle F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}} F n 2 + F n + 1 2 = F 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}} F 2 n = F n + 1 2 − F n − 1 2 {\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}} F 3 n = F n + 1 3 + F n 3 − F n − 1 3 {\displaystyle F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}} F 5 n = 25 F n 5 + 25 ( − 1 ) n F n 3 + 5 F n {\displaystyle F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}} Opšte formule
F n + m = F n − 1 F m + F n F m + 1 = F n + 1 F m + 1 − F n − 1 F m − 1 {\displaystyle F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}} F ( k + 1 ) n = F n − 1 F k n + F n F k n + 1 {\displaystyle F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}} F n = F l F n − l + 1 + F l − 1 F n − l {\displaystyle F_{n}^{}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}} F n + 1 = det ( 1 1 0 ⋯ 0 − 1 1 1 ⋱ ⋮ 0 − 1 ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 1 0 ⋯ 0 − 1 1 ) {\displaystyle F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}} F n + 1 = det ( 1 i 0 ⋯ 0 i 1 i ⋱ ⋮ 0 i ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ i 0 ⋯ 0 i 1 ) {\displaystyle \ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}}} gdje matrice imaju oblik n × n {\displaystyle n\times n} i je imaginarna jedinica.
Fibonačijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma F n + 1 = ( − i ) n U n ( − i 2 ) , {\displaystyle F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right),} F 2 n + 2 = U n ( 3 2 ) . {\displaystyle F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).} Za bilo koji n {\displaystyle n}
( 1 1 1 0 ) n = ( F n + 1 F n F n F n − 1 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}
Posljedica
( − 1 ) n = F n + 1 F n − 1 − F n 2 . {\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.}
Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je
F n + 1 = F n + 5 F n 2 ± 4 2 {\displaystyle F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}\pm 4}}}{2}}} Fibonačijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka , životinja i ljudi , sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.
Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:
U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi. Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale . Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi. Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi. Ball, Keith M (2003). „8: Fibonacci's Rabbits Revisited” . Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11321-0 . Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics , New York: Springer Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3rd izd.), New Jersey: World Scientific Lemmermeyer, Franz (2000). Reciprocity Laws ISBN 978-3-540-66957-9 . Lucas, Édouard (1891) (French), Théorie des nombres , 1 , Gauthier-Villars Pisano, Leonardo (2002) (hardback). Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation . Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Sigler, Laurence E, trans. Springer. ISBN 978-0-387-95419-6 . Arakelяn, Grant (2014). Matematika i istoriя zolotogo sečeniя . Logos, 404 s. ISBN 978-5-98704-663-0 . 
![{\displaystyle F_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f284c42fe2e2d38c49ba4d1a8a3f16eb5afed8ed)
